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Kontinuierlich verteilte Kräfte liegen vor, wenn eine Kraft über eine bestimmte Strecke gleichmäßig verteilt wird. Die Streckenlast wird bezeichnet mit
Beispiel
Angenommen auf ein Carport fällt Schnee und es bildet sich eine Schneedecke, die gleichmäßig auf das Carport verteilt ist. Es liegt also eine Streckenlast vor.
In der obigen Grafik greift die vertikale Streckenlast
In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass
mit
Nach
Methode
Aus dem Summenzeichen wird im Grenzübergang ein Integral (siehe Höhere Mathematik I: Bestimmte Integrale):
Methode
(1)
Die Resultierende der Streckenlast
Methode
(2)
Schwerpunktberechnung
Die Formel für die Schwerpunktberechnung ist in (1) gegeben. Wie berechnet sich dieser nun aber an geometrischen Formen? Für geometrisch bekannte Formen, wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke, ist die Berechnung einfach.
Rechteck
In der obigen Grafik sind die Kräfte überall gleich groß (konstant), d.h.
Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt. Die Resultierende der Streckenlast entspricht dem Nenner in Gleichung (1).
Um nun den Angriffspunkt der Streckenlast bestimmen zu können muss der Schwerpunkt der Streckenlast aus Gleichung (1) bestimmt werden:
Zähler:
Nenner:
Merke
Der Nenner ist der Flächeninhalt der Streckenlast und damit die Resultierende der Streckenlast!
Man kann nun die Lage der Resultierenden anhand der obigen Formeln (1) bestimmen:
Das bedeutet also, dass sich der Schwerpunkt beim Rechteck auf der halben Länge befindet.
Schwerpunktberechnung beim rechtwinkligen Dreieck
Beim rechtwinkligen Dreieck sind die einzelnen Lasten
mit
Die Berechnung erfolgt dann analog zu oben. Die Größe der Resultierenden (gleich Flächeninhalt) beträgt:
Der Abstand der einzelnen Teilrechtecke zum Bezugspunkt wird berechnet durch:
Der Abstand des Schwerpunktes zum Bezugspunkt ist demnach:
Der Schwerpunkt liegt bei einem rechtwinkligen Dreieck auf
Merke
Die Resultierende der Streckenlast ist gleich dem Flächeninhalt der Streckenlast. Die Lage der Resultierenden ist im Schwerpunkt der Fläche.
Beispiel: Parabelförmige Streckenlast
Beispiel
Gegeben sei die parabelförmige Streckenlast mit
Die Resultierende der Streckenlast ist immer die Fläche unterhalb der Funktion. In unserem Fall ist die Funktion
Einsetzen der Funktion
Wir haben hier konstante Faktoren gegeben, welche vor das Integral gezogen werden dürfen:
Hinweis
Integration durchführen mit:
Es ergibt sich demnach:
Einsetzen der Integralgrenzen:
Als nächstes wollen wir den Kraftangriffspunkt der Resultierenden
Einsetzen von
Es werden Nenner und Zähler separat integriert:
Zähler
Nenner
Hier wird die Fläche berechnet, diese Integration entspricht der bereits durchgeführten Integration zur Berechnung der Resultierenden
Einsetzen in die Formel:
Der Kraftangriffspunkt der Resultierenden der Streckenlast
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