Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll aufgezeigt werden, wie man ein lineares Optimierungsproblem grafisch löst. Dazu muss die Standardform
Methode
maximiere
u.d.N.
gegeben sein. Die grafische Lösung ist für Optimierungsprobleme mit zwei Entscheidungsvariablen geeignet. Es wird das folgende -aus dem vorherigen Abschnitt entnommene - Maximierungsproblem betrachtet:
u.d.N.
Es soll nun für dieses Optimierungsproblem die optimale Kombination aus
Für die grafische Lösung geht man nun wie folgt vor:
Methode
1. Einzeichnung aller Restriktionen (Nebenbedingungen).
2. Einzeichnung der Zielfunktion.
3. Verschiebung der Zielfunktion (parallel zu sich selbst) bis diese gerade noch innerhalb des zulässigen Bereichs liegt.
1. Einzeichnen der Restriktionen
Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form:
Um
Um
Merke
Werden keine Einheiten von
Die beiden Punkte
Die Energierestriktion (in grün) hat die Form:
Umstellen nach
Werden keine Einheiten von
Die beiden Punkte
Die Absatzrestriktionen (in blau) haben die Form:
Diese beiden Punkte hingegen werden nicht miteinander verbunden, sondern stellen Geraden dar. Dies liegt daran, dass die Absatzrestriktionen der beiden Torten nicht voneinander abhängig sind und sich gegenseitig nicht begrenzen.
In der nachfolgenden Grafik sind alle Restriktionen eingezeichnet:
Der zulässige Bereich wird durch diese eingezeichneten Restriktionen ermittelt. In diesem Beispiel ist dieser gegeben durch die Maschinenrestriktion (rot) und durch die Absatzrestriktionen (blau). Der zulässige Bereich ist in der nachfolgenden Grafik durch die schwarzen Linien gekennzeichnet:
Die Nichtnegativitätsbedingungen geht dadurch ein, dass der Bereich oberhalb der Abzisse (
2. Einzeichnung der Zielfunktion
Um nun das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, also die optimale Kombination aus
Hierbei ist es egal, welchen Höchstwert (rechte Seite) man ansetzt. Es ist wichtig, dass der gewählte Wert so hoch ist, dass sich die Zielfunktion in die Grafik einzeichnen lässt und noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. Außerdem sollten dabei einigermaßen gerade Werte für
mit
3. Verschiebung der Zielfunktion
Diese beiden Punkte zeichnet man nun in die Grafik ein und verbindet sie miteinander (gelbe Linie). Als nächstes nimmt man sich ein Geodreieck in die Hand und verschiebt die Gerade solange (parallel zu sich selbst) nach oben bis zu dem Punkt, welcher sich gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches befindet. In der Grafik ist dies der gelb eingezeichnete Punkt.
Es werden also von
Für die Gesamtproduktionsmenge von 15 kg pro Stunde erhält das Unternehmen einen Deckungsbeitrag von 550 € pro Stunde.
Zusammenfassung
Die Maschinenrestriktion (rot) begrenzt die Produktion der Eissorten. Es können also nicht beide Eissorten bis zu ihrem Absatzmaximum (
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