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In diesem Abschnitt soll ein gegebenes Maximierungsproblem zunächst grafisch gelöst werden. Im folgenden Abschnitt wird dasselbe Problem dann mittels Simplexverfahren gelöst.
Beispiel: Produktionsprogrammplanung
Ein Unternehmen produziert zwei Produkte
Artikel | Kapazität pro Tag | ||
1 | 2 | ||
Maschine A | 4 | 3 | 24 h |
Maschine B | 2 | 4 | 24 h |
Montagearbeiter M | 4 | 5 | 32 h |
Gewinn pro Stück | 250 | 450 |
Im mittleren Bereich der Tabelle stehen die Stundenzahlen, die für die Produktion eines Produktes benötigt werden. So werden zum Beispiel zur Produktion von Produkt 1 4 Stunden auf Maschine A, 2 Stunden auf Maschine B und 4 Stunden zur Montage benötigt.
Ziel des Unternehmens ist es, seinen Gewinn zu maximieren. Es handelt sich in diesem Fall also um ein Maximierungsproblem mit der Form:
u.d.N.
Die Nichtnegativitätsbedingung muss hier eingeführt werden, da keine negativen Produkte hergestellt werden können. Das Maximierungsproblem wird zunächst grafisch gelöst.
grafische Lösung
Um die Restriktionen einzeichnen zu können, müssen die Schnittpunkte der einzelnen Gleichungen mit den Koordinatenachsen bestimmt werden. Die Koordinatenachsen spiegeln die zwei Produkte wieder. Für die Gleichung
ergibt sich der Schnittpunkt mit der
Werden keine Einheiten von
Die beiden Punkte
Entsprechend wird auch mit den anderen beiden Restriktionen verfahren:
In der obigen Grafik ist das Koordinatensystem mit den eingezeichneten Restriktionen zu sehen. Dabei nennt man den Bereich, der von den Restriktionen eingeschlossen wird zulässigen Bereich. Alle Lösungen innerhalb dieses Bereichs sind zulässig. Es soll aber die optimale Lösung unter den zulässigen Lösungen gefunden werden.
In dem nächsten Schritt wird nun die Zielfunktion benötigt. Für diese wird auf der rechten Seite ein fiktiver Gesamtgewinn angesetzt, so dass die Neigung der Gewinnfunktion in die Grafik eingezeichnet werden kann.
Sinnvoll ist es einen Wert zu wählen, so dass die Division mit den beiden Werten
Der Schnittpunkt mit der
Die gestrichelte Linie stellt die Zielfunktionsgerade dar. Diese muss nun solange parallel zu sich selbst verschoben werden (Geodreieck verwenden), bis diese gerade noch den zulässigen Bereich berührt. Der letzte Berührungspunkt der Zielfunktionsgeraden mit dem zulässigen Bereich stellt die optimale Lösung dar.
In der obigen Grafik wurde die Zielfunktionsgerade nun solange verschoben (parallel zu sich selbst), bis sie gerade noch im zulässigen Bereich liegt. Der Punkt (grau) ist dabei der Punkt, der gerade noch im zulässigen Bereich liegt und damit die optimale Lösung:
Das bedeutet also, dass von
Der Gewinn des Unternehmens beträgt dann:
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