Inhaltsverzeichnis
- Beispiel: Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
- 1. Bestimmung des Gesamtdeckungsbeitrags
- 2. Bestimmung der Produktionskapazität
- 3. Nichtnegativitätsbedingung
- 4. Bestimmung der Absatzrestriktion
- 5. Bestimmung der Nachfragerestriktion
- Zusammenfassende Aufstellung des Linearen-Programmierungs-Modell
- Graphische Lösung
- 1. Einzeichnen der Restriktionen
- Der zulässige Bereich
- Optimales Produktionsprogramm
- Zusammenfassung der Ergebnisse
Beispiel: Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
Beispiel
Im welchem Umfang sollte das Unternehmen welche Torte produzieren (wie sieht das optimale Produktionsprogramm aus)?
Zur Lösung diese Problems empfiehlt sich ein schrittweises Vorgehen.
1. Bestimmung des Gesamtdeckungsbeitrags
Um die Zielfunktion aufstellen zu können, muss der Deckungsbeitrag bestimmt werden. Das Ziel des Unternehmens ist es nämlich den Deckungsbeitrag zu maximieren. Der Deckungsbeitrag berechnet sich indem die variablen Kosten der Torten von dem Preis der Torten subtrahiert werden:
DB = Preis - variable Kosten.
Der Deckungsbeitrag der einfachen Variante ist
Der Deckungsbeitrag der Premiumvariante ist
Daraus ergibt sich ein Gesamtdeckungsbeitrag von
Mit dem Gesamtdeckungsbeitrag (welcher maximiert werden soll) haben wir die Zielfunktion für das Unternehmen aufgestellt.
2. Bestimmung der Produktionskapazität
Es stehen insgesamt für die beiden Torten 3.750 ZE an Maschinenkapazität zur Verfügung. Die Einfachvariante benötigt 0,5 ZE und die Permiumvariante 1,25 ZE pro Stück für einen Durchlauf auf der Maschine.
3. Nichtnegativitätsbedingung
Die Nichtnegativitätsbedingung besagt, dass keine negativen Produktionsmengen generiert werden können.
4. Bestimmung der Absatzrestriktion
Die Absatzrestriktion der einfachen Torte
Es können maximal 3.000 Stück der Einfachvariante auf dem Markt abgesetzt werden.
Die Absatzrestriktion der Premiumtorte
Es können maximal 2.500 Stück der Premiumvariante auf dem Markt abgesetzt werden.
5. Bestimmung der Nachfragerestriktion
Es gibt insgesamt eine Nachfrage nach den beiden Torten dieses Unternehmens in Höhe von maximal 5.000 Stück.
Zusammenfassende Aufstellung des Linearen-Programmierungs-Modell
Zielfunktion
Nebenbedingungen
Graphische Lösung
Das optimale Produktionsprogramm lässt sich grafisch lösen. Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.
1. Einzeichnen der Restriktionen
Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:
Um
Um
Die beiden Punkte
Die Absatzrestriktion (in grün) hat die Form:
Diese beiden Punkte hingegen werden nicht miteinander verbunden, sondern stellen Geraden dar. Dies liegt daran, dass die Absatzrestriktionen der beiden Torten nicht voneinander abhängig sind und sich gegenseitig nicht begrenzen.
Die Nachfragerestriktion (in blau) hat die Form:
Hier ist:
Die beiden Punkte werden wieder in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Dies liegt daran, dass die beiden Torten hinsichtlich der Nachfragekapazität voneinander abhängig sind, bzw. sich begrenzen. Je mehr von der einer Torte verkauft wird, desto weniger wird die andere Torte nachgefragt. Insgesamt hat das Unternehmen eine Tortennachfrage von 5.000 Stück, wenn z.B. von
Der zulässige Bereich
Der zulässige Bereich wird durch diese Restriktionen ermittelt und wird in diesem Beispiel durch die Absatzrestriktion (grün) und durch die Produktionskapazität (rot) begrenzt.
Optimales Produktionsprogramm
Um nun das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, also die optimale Kombination aus
Hierbei ist es egal, welchen Höchstwert (rechte Seite) man ansetzt. Es ist wichtig, dass der gewählte Wert so hoch ist, dass sich die Zielfunktion in die Grafik einzeichnen lässt und noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. In diesem Beispiel haben wir den Höchstwert
mit
Diese beiden Punkte zeichnet man nun in die Grafik ein und verbindet sie miteinander (gestrichelte Linie). Als nächstes nimmt man sich ein Geodreieck in die Hand und verschiebt die Gerade solange (parallel zu sich selbst) nach oben bis zu dem Punkt, welcher sich gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches befindet. In der Grafik ist dies der schwarz eingezeichnete Punkt.
Es werden also von
Zusammenfassung der Ergebnisse
Es ist ersichtlich, dass die Permiumtorte (
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