Beispiel: Drehwinkelverfahren - Verschiebegleichgewicht

In diesem Abschnitt behandeln wir als nächstes ein Beispiel zum Drehwinkelverfahren, in welchem neben den Knotendrehungen auch Knotenverschiebungen infolge Stabdrehungen berücksichtigt werden. Wir müssen in diesem Fall zusätzlich das Verschiebegleichgewicht berücksichtigen.

Beispiel: Drehwinkelverfahren - Knotenverschiebungen infolge Stabdrehungen

Effektive Stablängen

Bevor wir mit der Berechnung beginnen, ist es sinnvoll die effektiven Stablängen zu bestimmen. Diese können über die folgende Formel berechnet werden:

Da alle Stäbe dieselbe Biegesteifigkeit aufweisen, sind die effektiven Längen gleich der tatsächlichen Längen anzusetzen.

1.Geometrisch bestimmtes Grundsystem

Als nächstes stellen wir das geometrisch bestimmte Grundsystem (0-System) auf. Dazu benötigen wir den Grad der geometrischen Unbestimmtheit. Dieser setzt sich aus den unbekannten Verschiebungsgleichungen und den unbekannten Knotendrehwinkeln zusammen. 

Unbekannte Verschiebungsgleichungen

Die unbekannten Verschiebungsgleichungen werden über den Grad der elastischen Verschieblichkeit bestimmt. Zur Bestimmung des Grades der elastischen Verschieblichkeit fügen wir zunächst an jeden Knotenpunkt (biegesteife Ecke) ein Momentengelenk ein (sofern noch keines vorhanden ist). Ziel ist es, dass die Knoten keine Momente übertragen, also resultiert. Demnach müssen auch für Knoten mit Lagerarten die Momente übertragen (z.B. feste Einspannung) Momentengelenke eingefügt werden.

Wir fügen zunächst Momentengelenke an den Knoten a, b und c ein. Knoten d weist bereits ein gelenkiges Lager mit auf. Danach wenden wir die Abzählformel an:

Wir haben Auflagerkräfte, Gelenkkräfte und Teilsysteme gegeben. Demnach erhalten wir:

Für den Grad der elastischen Verschieblichkeit gilt und damit . Wir müssen demnach 1-einwertiges Lager so einfügen, dass die Verschieblichkeit aufgehoben wird. Wir beginnen dazu immer in einem Lager (hier Knoten a). Wir führen eine Stabsehnenverdrehung durch. Der Knoten und der Knoten verschieben sich damit senkrecht zum betrachteten Stab. Wir fügen das einwertige Lager so ein, dass die horizontale Verschiebung unterbunden wird. Eine vertikale Verschiebung ist hier nicht möglich, da die Knoten und eine feste Einspannung und ein Loslager aufweisen.

Unbekannten Knotendrehwinkel

Als nächstes betrachten wir die Anzahl der unbekannten Knotendrehwinkel. Dazu ziehen wir wieder das Ausgangssystem heran und fragen uns für jeden Knoten, ob die Verdrehung wird. Für diejenigen Knoten, für die weder Moment noch Verdrehung zu Null werden, sind unbekannte Knotendrehwinkel gegeben.

Die Verdrehung im Knoten ist aufgrund der festen Einspannung nicht möglich und damit gleich Null. Es verbleiben noch die biegesteifen Ecken und sowie das Festlager , für welche die Verdrehungen unbekannt sind. Hier sind also unbekannte Knotendrehwinkel gegeben. Allerdings kann der Stab c-d als Einzelstab mit fester Einspannung in und gelenkigem Lager in berücksichtigt werden. Damit kann die Verdrehung am Stabende im Knoten mit den entsprechenden Tabellen (Stabendmomente) für den Einzelstab aus der Berechnung eliminiert werden. Wir haben also nur noch die unbekannten Knotendrehwinkel und gegeben. Um die Knotendrehungen zu unterbinden, fügen wir Festhaltungen gegen Verdrehen ein.

Betrachten wir nun alle Festhaltungen zusammen in einem System, so erhalten wir das geometrisch bestimmte Grundsystem (0-System):

2. Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem (0-System)

Zunächst berechnen wir die Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem (0-System), die infolge der äußeren Belastung auftreten. Wir berechnen die Verformungen beim Drehwinkelverfahren stabweise.

Wir benötigen nun die Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem, d.h. die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen. Ihr findet die Tabelle links im Ordner Materialen unter dem Namen Stabendmomente. In der folgenden Grafik ist der relevante Ausschnitt aufgeführt:

Im 0-System greift die äußere Einzellast mittig an Stab b-c an. Der Stab b-c weist links und rechts eine feste Einspannung auf (Festhaltung gegen Verdrehen = Volleinspannung). Wir betrachten also die erste Spalte.

Für unser Beispiel ergibt sich demnach:

Wir müssen hier zusätzlich zu den Stabendmomenten die Lagerkraft der Festhaltung gegen Verschieben berücksichtigen. Die Lagerkraft können wir aus der Querkraft bestimmen:

Das Moment im Stab ist gleich Null, demnach ist hier auch die Querkraft gleich Null und damit die Lagerkraft der Festhaltung im 0-System.

3. Verformungen an den Einheitssystemen

Wir haben hier zwei Festhaltungen gegen Verdrehen an den Knoten und eingefügt und eine Festhaltung gegen Verschieben an dem Knoten , damit ergeben sich insgesamt 3 Einheitssysteme. Die Stabendmomente infolge Knotendrehungen können ebenfalls Tabellenwerken entnommen werden.

Wir betrachten nun nachfolgend zunächst die Knotendrehung am Knoten b im 1-System, danach die Knotendrehung am Knoten c im 2-System und abschließend die Stabdrehung im Knoten b im 3-System.

In der obigen Grafik sind die 3 Einheitssysteme zusammengefasst. Auf der linken Seite ist die Biegelinie zu sehen und auf der rechten Seite die Stabendmomente sowie Lagerkräfte der Festhaltung gegen Verschieben für

• die Knotendrehung  im Knoten b (1-System),
• die Knotendrehung im Knoten c (2-System) sowie
• die horizontale Verschiebung der Knoten b und c (3-System).

Da die Normalkraft im Stab b-c in allen Systemen gleich Null wird, können wir für die Berechnung der Festhaltekräfte die Stabendmomente im Stab a-b heranziehen, um die Querkraft berechnen. Danach können wir den Knoten b freischneiden und aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung die Festhaltekräfte berechnen. 

Die Berechnung der Festhaltekräfte, wenn ist und ein unbelasteter Stababschnitt vorliegt, ergibt sich wie folgt:

Die Lagerkräfte werden wie folgt berechnet:

4. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Als nächstes müssen die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. 

Knotengleichgewicht

Das Knotengleichgewicht berechnet sich wie folgt:

Wir wenden die obige Gleichung auf alle Knoten an, an denen Verdrehfesthaltungen angebracht sind. Wir beginnen mit dem Knoten :

Wir setzen die Momente ein am Knoten b für die einzelnen Systeme ein:

Einsetzen von und :

Als nächstes betrachten wir den Knoten c:

Wir setzen die Momente ein am Knoten c für die einzelnen Systeme ein:

Einsetzen von und :

Verschiebegleichgewicht

Im nächsten Schritt wollen wir das Verschiebegleichgewicht aufstellen, denn die unbekannten Knoten- und Stabdrehwinkel müssen zusätzlich die Bedingung erfüllen, dass die Festhaltekraft im wirklichen System gleich Null ist. Demnach muss die Summe der Festhaltekräfte im 0-System und in den Einheitssystemen gleich Null sein:

Wir stellen das Verschiebegleichgewicht für den Knoten auf. Es muss nur eine Gleichung aufgestellt werden, da nur eine Festhaltekraft vorhanden ist:

Einsetzen von :

5. Gleichungssystem aufstellen und lösen

Wir schreiben die obigen drei Gleichungen in eine Matrix und erhalten so das lineare Gleichungssystem in Matrixschreibweise:

Als Dezimalzahlen mit 3 Nachkommastellen:

Der nächste Schritt ist die Lösung des obigen Gleichungssystems. 

Gauß-Algorithmus

Wir können das obige Gleichungssystem zum Beispiel mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Dazu werden alle Werte ohne Variablen auf die rechte Seite gebracht:

Wir betrachten die Koeffizienten und die rechte Seite und schreiben diese wie folgt auf:

Wir wollen nun also an der Stelle der , und Nullen erzeugen, indem wir Zeilenumformungen vornehmen.

Wir haben unter der Hauptdiagonalen Nullen erzeugt und können nun das Gleichungssystem lösen. Wir beginnen mit der Zeile (3):

Wir lösen den Bruch auf und schreiben die Dezimalzahl auf 3 Nachkommastellen gerundet auf:

Aus der Zeile (2) erhalten wir:

Einsetzen von :

Aus der Zeile (1) erhalten wir:

Einsetzen von und :

6. Unbekannte Knotendrehwinkel und Verschiebung bestimmen

Nachdem das Gleichungssystem gelöst ist, können die unbekannten Knotendrehwinkel für die Knoten b und c sowie die horizontale Verschiebung des Riegels bestimmt werden.

Die Winkel sind in Bogenmaß gegeben, die Verschiebung in Meter. Die negativen Vorzeichen bedeuten, dass die in den Einheitssystemen angenommene Knotendrehung tatsächlich genau entgegendrehend erfolgt. In den Einheitssystemen ist eine Knotendrehung für beide Knoten als rechtsdrehend angenommen worden. Tatsächlich erfolgt hier die Knotendrehung in b und in c in einer Linksdrehung. Die Verschiebung ist positiv und demnach im 3-System richtig angenommen worden. Der Riegel verschiebt sich um 0,00712 m nach links.

7. Momentenlinie des statisch unbestimmten Systems

Der letzte Schritt ist die Ermittlung der Momentenlinie des Ausgangssystems mittels Superposition. Hierbei handelt es sich um die Stabendmomente des Ausgangssystems. Diese können mit der folgenden Gleichung bestimmt werden:

Wir orientieren uns bei der Einzeichnung der Momentenlinie an der Momentenlinie der Stabendmomente. Betrachten wir zum Beispiel den Knoten a, so haben wir in den Einheitssystemen die Momentenlinie für positive Stabendmomente nach rechts gerichtet eingezeichnet. Demnach wird auch 0,793 (weil positiv) nach rechts gerichtet eingezeichnet.

Für M_{ba}M_{bc}$ ist ein negativer Wert gegeben, weshalb wir hier die Momentenlinie im Knoten b nach oben einzeichnen müssen.

Es resultiert dann:

Bestimmung des Maximums

Im Folgenden wollen wir uns anschauen, wie das Maximum 6,65 im Stab b-c bestimmt werden kann.

Zunächst kennen wir bei Angriff einer Einzellast in Stabmitte die folgenden Stabendmomente mit Maximum (Tabellenwerken zu entnehmen):

In der obigen Grafik liegen beide Stabendmomente auf der Stabachse und damit auch auf einer Linie. In unserem Beispiel beginnen die Stabendmomente aber nicht auf der Stabachse und sind zusätzlich unterschiedlich groß. Verbinden wir beide Stabendmomente miteinander, so sehen wir, dass hier eine Steigung der Verbindungslinie gegeben ist. Wir müssen nun zum Einen berücksichtigen, dass die Stabendmomente nicht auf der Stabachse beginnen und zum Anderen die Steigung der Verbindungslinie. 

Der erste Schritt ist also das Verbinden der beiden Stabendmomente im Knoten b und im Knoten c:

In der obigen Grafik ist die Verbindungslinie vom linken zum rechten Stabendmoment für den Stab b-c eingezeichnet. Das Maximum der Momentenlinie von dieser Verbindungslinie ausgehend beträgt . Wir benötigen aber den Wert von der Stabachse ausgehend zum Maximum.

Dazu übertragen wird die Verbindungslinie in ein x,y-Koordinatensystem, wobei die Stabachse die x-Achse darstellt:

Die Verbindungslinie ist eine Gerade, weshalb wir die Geradengleichung heranziehen, um die Gerade zu bestimmen. Es ergibt sich:

Wir benötigen nun den Funktionswert in der Mitte, da das Maximum in der Mitte liegt: .

Einsetzen in die Geradengleichung ergibt:

Dieser Wert reicht von der Verbindungslinie zur Stabachse. Wir können nun das Maximum von der Stabachse ausgehend berechnen: