In dieser Formelsammlung findest du alle im Kurs behandelten Gleichungen als Übersicht für deine Klausur. Immer unterteilt nach Kapiteln:
Darstellung ebener Kurven
Methode
Hier klicken zum AusklappenFunktionstypen:
Lineare Funktionen:
Quadratische Funktionen:
Methode
Hier klicken zum AusklappenPolarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)
Methode
Hier klicken zum AusklappenParameterdarstellung (Fester Wert)
Kurveneigenschaften im ebenen Raum
Darstellungsarten
Kurve | Punkt auf der Kurve | Tangentenvektor für Kurvenpunkt |
Explizite
| | |
Implizite
| | |
Polarkoordinaten
| | |
Parameter
| | |
Methode
Hier klicken zum AusklappenHauptnormalenvektorDarstellungsarten des Normalenvektors:
| Kurve | Normalenvektor in |
Explizite
| |
Parameter | |
Polarkoordinaten
|
|
Methode
Hier klicken zum AusklappenKurvenintegral| Darstellungsart | Kurvenlänge | Bogenelement |
kartesisch:
| |
|
Parameter:
| |
|
Polarkoordinaten:
| |
|
Methode
Hier klicken zum AusklappenKrümmungsradius:
Explizite Darstellung
Parameterdarstellung
Methode
Hier klicken zum AusklappenKrümmung:
Methode
Hier klicken zum AusklappenKrümmungsmittelpunktbzw.
Überblick über die verschiedenen Darstellungsarten der Krümmung
| Kurve | Krümmung |
Explizit
| |
Parameter
| |
Polarkoordinaten
| |
Methode
Hier klicken zum AusklappenEvolute.
Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
Methode
Hier klicken zum AusklappenSpirale im Raum in Parameterdarstellung:Methode
Hier klicken zum AusklappenTangentenvektor im RaumMethode
Hier klicken zum AusklappenTangenteneinheitsvektor im RaumMethode
Hier klicken zum AusklappenHauptnormalenvektor im RaumMethode
Hier klicken zum AusklappenHauptnormalenvektor aus TangentenvektorMethode
Hier klicken zum AusklappenBinormalenvektor im Raum.
Methode
Hier klicken zum AusklappenBegleitendes Dreibein der Kurve,
| Vektoren | Formel |
| Tangenteneinheitsvektor | |
| Binormalenvektor | |
| Hauptnormalenvektor | |
Methode
Hier klicken zum AusklappenZwischen Parameterbelegung und der Bogenlänge wechselnMethode
Hier klicken zum Ausklappen Tangentenvektor in BogenlängeMethode
Hier klicken zum AusklappenNormalenvektor in BogenlängeMethode
Hier klicken zum AusklappenKrümmung im RaumMethode
Hier klicken zum AusklappenTorsion/Windung mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
Methode
Hier klicken zum AusklappenStetigkeitEine Funktion
mit
heißt an der Stelle
stetig, wenn
mit
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenPartielle Ableitung 1. Ordnung für
Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x Partielle Ableitung 1. Ordnung nach yMethode
Hier klicken zum AusklappenPartielle Ableitung 2. Ordnung Methode
Hier klicken zum AusklappenPartielle Ableitung n-ter OrdnungMethode
Hier klicken zum AusklappenTotales Diferential.
Methode
Hier klicken zum AusklappenGradient.
Methode
Hier klicken zum AusklappenRichtungsableitungDie Richtungsableitung
von
an der Stelle
in Richtung des Vektors
ist durch den folgenden Grenzwert definiert:
Methode
Hier klicken zum AusklappenKettenregel für AbleitungenDie Kettenregel für
mit
lautet
.
Extremwerte
Methode
Hier klicken zum Ausklappen Vorgehen zur Bestimmung einer Extremstelle:1. Man differenziert die Funktion partiell nach
und
. Hierbei können alle Punkte
gewählt werden, deren partiellen Ableitungen den Wert Null annehmen.
sowie
Hieraus erhält man ein System von zwei Gleichungen für die Unbekannten
und
, man nennt diese Lösungen stationäre Stellen.
2. Als nächstes überprüft man, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von
und
bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach
bestimmt und diese anschließend wiederum nach
ableitet.
3. Nun berechnet man Delta
Ergibt sich aus der Berechnung, dass
ist, so existiert eine
Maximalstelle, wenn
,
Minimalstelle, wenn
Ergibt sich hingegen aus der Berechnung, dass
ist, so liegt in im Punkt
ein Sattelpunkt vor.
Methode
Hier klicken zum AusklappenLagransche Hilfsfunktion (Zielfunktion + Nebenbedingung).
Ziel ist es die
zu finden, für die
sind. Aus diesen Punkten ermittelt man anschließend die Extrempunkte.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Methode
Hier klicken zum AusklappenGewöhnliche Differentialgleichung (implizite Form):Methode
Hier klicken zum AusklappenGewöhnliche Differentialgleichung (explizite Form):Methode
Hier klicken zum AusklappenIsoklinenDie Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung
sind definiert durch
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenAnfangswertproblem (Gerade) mit der Bedingung
Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.
Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form
Methode
Hier klicken zum AusklappenGlobale Lipschitzbedingung genügt in
einer Lipschitzbedingung bezüglich
mit
:
für alle
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenEindeutigkeitssatz:Lokaler EindeutigkeitssatzDer lokale Eindeutigkeitssatz besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form
unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von
eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von
abhängig.
Globaler EindeutigkeitssatzDer globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen
eine globale Lipschitzbedingung erfüllt , auf dem gesamten Intervall
eine eindeutige Lösung besitzt.
Methode
Hier klicken zum AusklappenPicard-Lindelöfschen IterationsverfahrenMan definiert:
...
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenApproximierte PotenzreiheMethode
Hier klicken zum AusklappenRegel von de l'Hospital und
, dann
Methode
Hier klicken zum AusklappenTrennung der Veränderlichen.
Methode
Hier klicken zum AusklappenLineare Differentialgleichung 1. OrdnungMethode
Hier klicken zum AusklappenInhomogene Differentialgleichung mit
Methode
Hier klicken zum AusklappenHomogene Differentialgleichung.
mit
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenBernoulli-Differentialgleichung
mit
Methode
Hier klicken zum AusklappenSubstitution der Bernoullig-DGL in lineare Differentialgleichung und daraus
bzw.
Einsetzen dieser Transformationen in die Bernoulli Differentialgleichung erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung.
Methode
Hier klicken zum Ausklappen Ricatti-Differentialgleichung
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenExakte Differentialgleichung bzw.
mit
und
Methode
Hier klicken zum AusklappenVorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden FaktorsAusgangssituation:
1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:
2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung
liefert
.
3. Spezialfälle
Es gilt zu klären ob
von
oder
abhängig ist
Fall 1:
hängt nur von
ab.
Dann ist
und
hängt nur von
ab.
Der integrierende Faktor ist in diesem Fall
.
Fall 2:
hängt nur von
ab.
Dann ist
und
hängt nur von
ab.
Der integrierende Faktor ist nun
.
4. Gefundene(n) integrierende(n) Faktor(en) entsprechend in die Differentialgleichung einsetzen und
5. auf Exaktheit anhand der Gleichung
überprüfen.
Differentialgleichung höherer Ordnung
Methode
Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung höherer Ordnung.
Methode
Hier klicken zum AusklappenGesamtlösung der homogenen Differentialgleichung [H steht für homogen]
Methode
Hier klicken zum AusklappenGesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Methode
Hier klicken zum AusklappenLösung homogener DifferentialgleichungenZur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:
1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante
2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren
Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen
innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.
Methode
Hier klicken zum AusklappenWronski-DeterminanteEs gilt: Sind die Funktionen
auf
- mal differenzierbar so heißt
Die Wronski Determinante von
.
Methode
Hier klicken zum AusklappenD' Alembertsche ReduktionsverfahrenVoraussetzung:
ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung
.
Unter Anwendung des Produktansatzes
erhält man nach der Substitution von
eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für
.
Ist
nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist
.
| Nullstellen der charakteristischen Gleichung | Basislösungen der homogenen Differentialgleichung |
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Hinweis
Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Höhere Mathematik 2.
Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.
Jessica
