Kursangebot | Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen | Formelsammlung

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Formelsammlung

In dieser Formelsammlung findest du alle im Kurs behandelten Gleichungen als Übersicht für deine Klausur. Immer unterteilt nach Kapiteln:

Darstellung ebener Kurven

Methode

Funktionstypen:

Lineare Funktionen:

Quadratische Funktionen: 

Methode

Polarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)



Methode

Parameterdarstellung (Fester Wert)

Kurveneigenschaften im ebenen Raum

Methode

Tangentenvektor

Darstellungsarten
Kurve		Punkt auf der KurveTangentenvektor für Kurvenpunkt
Explizite
Implizite
Polarkoordinaten
Parameter

Methode

Hauptnormalenvektor

Darstellungsarten des Normalenvektors:

KurveNormalenvektor in

Explizite

Parameter

 

Polarkoordinaten

Methode

Kurvenintegral

DarstellungsartKurvenlänge Bogenelement

kartesisch:

Parameter:

Polarkoordinaten:

Methode

Krümmungsradius:

              Explizite Darstellung

                     Parameterdarstellung

Methode

Krümmung:

Methode

Krümmungsmittelpunkt



bzw.



Überblick über die verschiedenen Darstellungsarten der Krümmung

KurveKrümmung

Explizit

Parameter

Polarkoordinaten

Methode

Evolute

.

Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum

Methode

Spirale im Raum in Parameterdarstellung:

Methode

Tangentenvektor im Raum

Methode

Tangenteneinheitsvektor im Raum

Methode

Hauptnormalenvektor im Raum

Methode

Hauptnormalenvektor aus Tangentenvektor

Methode

Binormalenvektor im Raum

.

Methode

Begleitendes Dreibein der Kurve

,

 

VektorenFormel
Tangenteneinheitsvektor
Binormalenvektor
Hauptnormalenvektor

Methode

Zwischen Parameterbelegung und der Bogenlänge wechseln

Methode

 Tangentenvektor in Bogenlänge

Methode

Normalenvektor in Bogenlänge

Methode

Krümmung im Raum

Methode

Torsion/Windung mit

Funktionen mehrerer Veränderlicher

Methode

Stetigkeit

Eine Funktion    mit    heißt an der Stelle    stetig, wenn



  mit  

.

Methode

Partielle Ableitung 1. Ordnung für 

Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x



Partielle Ableitung 1. Ordnung nach y

Methode

Partielle Ableitung 2. Ordnung 







Methode

Partielle Ableitung n-ter Ordnung

Methode

Totales Diferential

.

Methode

Gradient

.

Methode

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung von an der Stelle in Richtung des Vektors ist durch den folgenden Grenzwert definiert:

Methode

Kettenregel für Ableitungen

Die Kettenregel für mit lautet

.

Extremwerte

Methode

 Vorgehen zur Bestimmung einer Extremstelle:

1. Man differenziert die Funktion partiell nach und . Hierbei können alle Punkte gewählt werden, deren partiellen Ableitungen den Wert Null annehmen.

sowie

Hieraus erhält man ein System von zwei Gleichungen für die Unbekannten und , man nennt diese Lösungen stationäre Stellen. 

2. Als nächstes überprüft man, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von und bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach bestimmt und diese anschließend wiederum nach ableitet. 

3. Nun berechnet man Delta



Ergibt sich aus der Berechnung, dass ist, so existiert eine

Maximalstelle, wenn ,

Minimalstelle, wenn

Ergibt sich hingegen aus der Berechnung, dass ist, so liegt in im Punkt ein Sattelpunkt vor.

Methode

Lagransche Hilfsfunktion (Zielfunktion + Nebenbedingung)

.

Ziel ist es die zu finden, für die sind. Aus diesen Punkten ermittelt man anschließend die Extrempunkte. 

 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Methode

Gewöhnliche Differentialgleichung (implizite Form):

Methode

Gewöhnliche Differentialgleichung (explizite Form):

Methode

Isoklinen

Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung sind definiert durch

.

Methode

Anfangswertproblem (Gerade)

mit der Bedingung

Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.
Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form

Methode

Globale Lipschitzbedingung

genügt in einer Lipschitzbedingung bezüglich mit :

für alle .

Methode

Eindeutigkeitssatz:

Lokaler Eindeutigkeitssatz
Der lokale Eindeutigkeitssatz besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von abhängig. 

Globaler Eindeutigkeitssatz
Der globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen eine globale Lipschitzbedingung erfüllt , auf dem gesamten Intervall eine eindeutige Lösung besitzt.

Methode

Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren

Man definiert:





...

.

Methode

Approximierte Potenzreihe

Methode

Regel von de l'Hospital

 und  ,  dann

Methode

Trennung der Veränderlichen

.

Methode

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Methode

Inhomogene Differentialgleichung



mit

Methode

Homogene Differentialgleichung

.

mit .

Methode

Bernoulli-Differentialgleichung

              mit



Methode

Substitution der Bernoullig-DGL in lineare Differentialgleichung

und daraus bzw.

Einsetzen dieser Transformationen in die Bernoulli Differentialgleichung erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung. 

 

Methode

 Ricatti-Differentialgleichung

. 

Methode

Exakte Differentialgleichung

 bzw.  

mit  und  

Methode

Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden Faktors

Ausgangssituation:

1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:



2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung liefert

.

3. Spezialfälle

Es gilt zu klären ob von oder abhängig ist

Fall 1: hängt nur von ab.

Dann ist und hängt nur von ab.

Der integrierende Faktor ist in diesem Fall

.

Fall 2: hängt nur von ab.

Dann ist und hängt nur von ab.

Der integrierende Faktor ist nun

.

4. Gefundene(n) integrierende(n) Faktor(en) entsprechend in die Differentialgleichung einsetzen und

5. auf Exaktheit anhand der Gleichung überprüfen.

Differentialgleichung höherer Ordnung

Methode

Differentialgleichung höherer Ordnung

.

Methode

Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung

[H steht für homogen]

Methode

Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung

.

Methode

Lösung homogener Differentialgleichungen

Zur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:

1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante

2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.

Methode

Wronski-Determinante

Es gilt: Sind die Funktionen auf - mal differenzierbar so heißt

 

Die Wronski Determinante von . 

Methode

D' Alembertsche Reduktionsverfahren

Voraussetzung: ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung 

.

Unter Anwendung des Produktansatzes erhält man nach der Substitution von eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für .

Ist nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist .

 

Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung

 

Hinweis

Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Höhere Mathematik 2.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica

 

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