Tangentenvektor

In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.

Einführung

Zu jeder Parameterdarstellung einer Kurve in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:

wobei der Punkt über dem Vektor für die 1. Ableitung nach steht. Es gilt:

, 

.

Das bedeutet, dass man den Vektor differenziert, indem man die Komponenten und ableitet und dadurch den Vektor erhält.

Beispiel: Tangentenvektor

1. Ableitung bilden

Die Ableitung des Vektors ergibt:

Der Parameter liegt im Intervall . Der Radius des Vektors ist im Einheitskreis gleich . Weshalb auch gilt:

2. Winkel bestimmen

Im Punkt ist der Winkel :

bzw.

:

3. Tangentenvektor berechnen

Der Tangentenvektor im Punkt ist demnach:

Tangentenvektor

Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt mit der Spitze auf den Punkt . Durch Parallelverschiebung an den Punkt erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve.

Überblick der unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren

Implizite Darstellung

Es handelt sich hierbei um eine implizite Darstellung. Es wird einmal nach und einmal nach abgeleitet:

Der Tangentenvektor berechnet sich wie folgt (siehe Tabelle):

Dies kann verkürzt geschrieben werden als:

,

wobei der Geradenparameter ist. Das heisst, dass die Länge des Tangentenvektors zeigt.

Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt auf den Punkt . Durch Parallelverschiebung an den Punkt erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve. In der Grafik ist deutlich erkennbar, dass der Tangentenvektor  auch verkürzt dargestellt werden kann. Dies ändert nichts an seiner Richtung, sondern nur an der Länge der Tangente, weshalb man den Tangentenvektor auch mit dem Geradenparameter verkürzt darstellen kann. Von der Wahl des Parameters hängt dann die Länge der Tangente ab. Die bereits verschobene Tangente im Punkt kann wie folgt geschrieben werden:

In der obigen Grafik ist der Geradenparamater gewählt worden.

Explizite Darstellung

Die 1. Ableitung ist:

Es liegt eine explizite Darstellung vor, deshalb errechnet sich der Tangentenvektor mittels:

Im Punkt :

Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt auf den Punkt . Durch Parallelverschiebung an den Punkt erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve. Auch hier kann die Tangente wieder durch den Geradenparameter in der Länge variiert werden. Die Darstellung der Tangente im Punkt ist dann:

Für wurde hier gewählt.