In der Mathematik ist oft von hohem Interesse zu erfahren, ob in Kurvenverläufen lokale Maxima oder Minima existieren. Hieraus lassen sich Aussagen bezüglich des Verhaltens einer Funktion treffen.
Eine Funktion
und Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null. Das Produkt der 2. partiellen Ableitung nach und abzüglich der Ableitungen der Funktion nach erst nach und anschließend zum Quadrat ist größer Null.
Ist die Bedingung
Methode
1. Man differenziert die Funktion partiell nach
Hieraus erhält man ein System von zwei Gleichungen für die Unbekannten
2. Als nächstes überprüft man, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von
3. Nun berechnet man Delta
Ergibt sich aus der Berechnung, dass
Ergibt sich hingegen aus der Berechnung, dass
Beispiel: Berechnung der stationären Stellen
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
zu 1)
(I)
(II)
Als nächstes versucht man die Gleichung in Faktoren zu zerlegen. Dies ist bei der Gleichung (I) möglich, indem man
(I)
Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:
(I)
Nun werden sowohl
1. Wert Einsetzen in die 2. Gleichung:
(II)
Auch diese Gleichung kann in Faktoren zerlegt werden:
Auflösen nach
Stationäre Stellen:
2. Wert Einsetzen in die 2. Gleichung:
(II)
Auch diese Gleichung kann in Faktoren zerlegt werden:
Auflösen nach
Diese wiederum müssen in die Gleichung
Stationäre Stellen:
Insgesamt ergeben sich die stationären Stellen:
Überprüfung auf Extremstellen
Als nächstes muss geprüft werden, ob es sich bei den ermittelten stationären Stellen tatsächlich um Extremwerte handelt. Dazu wird die 2. partielle Ableitung gebildet:
zu 2)
Danach werden die stationären Stellen eingesetzt und geprüft ob
1)
2)
3)
4)
Bestimmung von Minimum und Maximum
Da nun die Extremstelle bestimmt wurde, wird als nächstes geprüft, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dazu wird die 2. Partielle Ableitung
4)
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