Inhaltsverzeichnis
Hier erklären wir dir anschaulich die allgemeine Bestimmung der RichtungsAbleitung sowie Bestimmung der Richtungsableitung mit dem Gradienten.
Merke
Die Richtungsableitung gibt an, wie sich die Funktionswerte einer gegebenen Stelle ändern, wenn man sich von dort in eine bestimmte Richtung bewegt.
Richtungsableitung - was ist das?
Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B.
Haben wir nun aber eine Funktion mit mehreren Variablen gegeben (z.B.
Merke
Mithilfe der Richtungsableitung erfahren wir, wie sich unser Funktionswert an einer bestimmten Stelle
Voraussetzungen für die Richtungsableitung
Um die Richtungsableitung an einer gegebenen Stelle bestimmen zu können, benötigen wir:
- Eine Funktion
, - einen Punkt (Stelle)
und - einen Vektor
, welcher die Richtung angibt.
Sind die Voraussetzungen erfüllt, so kann die Richtungsableitung wie folgt berechnet werden:
Methode
Die Richtungsableitung
Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors
Hinweis
Jeder Einheitsvektor hat die Form
Anwendungsbeispiel
Beispiel
Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt
1.Schritt:
Schauen, ob die Funktion an der Stelle
Aus dem Kurstext Stetigkeit und Unstetigkeit wissen wir:
Man kann die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt
und lässt
Einsetzen in die gegebene Funktion:
Die Funktion
2.Schritt: Anwendung der Formel
Nachdem der Grenzwert existiert wird nun die oben angebene Formel angewandt:
Bei dieser Gleichung ist wichtig, dass der Vektor
Methode
Es ergibt sich dann:
Wir setzen nun also
Und wenden die obige Formel an:
Da nach der Aufgabenstellung
Merke
Trigonometrische Umformungen:
Die Richtungsableitung von
und die Funktion ist im Nullpunkt in alle Richtungen differenzierbar:
...
Merke
Richtungsableitung und Gradient
Ist nun eine bestimmte Richtung vorgegeben, also der Vektor
Die Richtungsableitung ergibt sich dann aus dem Skalarprodukt von
Merke
Dies ist allerdings nur möglich, wenn die Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion:
1. Bestimmung des Gradienten:
2. Bestimmung des Gradienten im Punkt
3. Normierung des Vektors
4. Bestimmung der Richtungsableitung:
Gehen wir nun also an der Stelle
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
1. Bestimmung des Gradienten:
2. Bestimmung des Gradienten im Punkt
3. Normierung des Vektors
4. Bestimmung der Richtungsableitung:
Gehen wir nun also an der Stelle
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