Anfangswertprobleme formulieren und lösen

Ein Anfangswertproblem liegt vor, wenn gefordert wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. 

Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form

mit der Bedingung

Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.

Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form

Die rechte Seite der Gleichung hängt erneut von y ab, hierdurch ist dieser Ansatz rein impliziter Natur. Im Allgemeinen lassen sich Anfangswertprobleme dieser Art durch Variation der Konstanten oder Trennung der Variablen lösen.

Ein Beispiel zur Trennung der Variablen:

Wir lösen die homogene Gleichung der DGL durch Trennung der Variablen über folgenden Ansatz:

In differentieller Schreibweise:

Nach Integrieren der Gleichung (natürlich auf beiden Seiten) erhalten wir:

mit

mit

Um die inhomogene Gleichung zu lösen, formuliert man die Konstante als eine Funktion von :

Diesen Ausdruck leiten wir mittels Produktregel ab:

Nun kennen wir sowohl für als auch und können beide in die ursprüngliche inhomogene Dgl. einsetzen und anschließend vereinfachen:

Ausdruck nach integrieren:

 mit

Diesen Ausdruck können wir wieder oben für einsetzen und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

Zur Lösung des Anfangswertproblems, genauer gesagt zur Bestimmung der Konstanten ("klein") setzen wir einfach die Anfangswerte und ein:

Damit lautet die Lösung unseres Anfangswertproblems:

Leider ist es nicht immer so wie im obigen Beispiel, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt. Im folgenden wird der Satz von Picard-Lindelöf vorgestellt, welcher sich mit der Lösung von Anfangswertproblemen beschäftigt.