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Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge
Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.
In Darstellung über die Bogenlänge
Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor
Man kann den Hauptnormalenvektor auch aus dem Tangenteneinheitsvektor berechnen. Und zwar indem man den Tangenteneinheitsvektor ableitet und dann den entstehenden Vektor durch seine Länge teilt:
Anwendungsbeispiel
Beispiel
Gegeben sei die Kurve
Die Kurve
Ableitungen bilden
Kreuzprodukt des Zählers bilden
1.)
Merke
Erinnerung: Kreuzprodukt
2.)
Kreuzprodukt und Länge des Nenners bilden
Das Kreuzprodukt des Nenners ist gleich dem des Zählers, also:
Die Länge ergibt sich folgendermaßen:
Hauptnormalenvektor berechnen
Den ermittelten Zähler durch die Länge teilen:
Das ist der zur Kurve
Hauptnormalenvektor in einem Punkt bestimmen
Wie im Abschnitt "Hauptnormalenvektor" im ebenen Raum, wird der Hauptnormalenvektor in einem Punkt wie folgt berechnet:
Beispiel
Gegeben sei die obige Raumkurve
Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:
Als nächstes wird der Winkel
Dies kann man entweder aus
Oder aus
Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt
Orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor
Der Hauptnormalenvektor steht senkrecht zum Tangentenvektor bzw. Tangenteneinheitsvektor. Das bedeutet dass das Skalarprodukt aus Tangenten- und Normalenvektor Null sein muss.
Beispiel
Gegeben sei die obige Raumkurve
Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:
Der Tangentenvektor (siehe vorherigen Abschnitt) ist:
Der Tangenteneinheitsvektor mit der Länge
Überprüfung der Orthogonalität
Alternativ kann auch der Tangentenvektor herangezogen werden:
Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor
Zum Schluss soll noch gezeigt werden, wie man den Hauptnormalenvektor aus dem Tangenteneinheitsvektor (WICHTIG! der Hauptnormalenvektor kann nur durch Ableitung des Tangenteneinheitsvektors berechnet werden) ermittelt:
Der Tangenteneinheitsvektor ist:
Ableitung des Tangenteneinheitsvektors:
Länge berechnen:
Durch die Länge teilen:
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