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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Begleitendes Dreibein und Schmiegebene

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Begleitendes Dreibein und Schmiegebene

Der Tangenteneinheitsvektor  , der Hauptnormalenvektor   und der Binormalenvektor   bilden zusammen

,

die Orthonormalbasis des . Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle . 

Die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins

Durch das begleitende Dreibein werden für die Kurve im Kurvenpunkt   drei Ebenen definiert:

Die Normalebene, welche durch den Hauptnormalenvektor und dem Binormalenvektor aufgespannt wird:



Die rektifizierbare Ebene, welche durch den Tangenteneinheitsvektor    und dem Binormalenvektor   aufgespannt wird:



Die Schmiegeebene, welche durch den Tangenteneinheitsvektor    und dem Hauptnormalenvektor   aufgespannt wird:

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die Raumkurve . Berechne das begleitende Dreibein    für  .

Ableitungen bilden:

Vektorprodukt und Länge berechnen für t = 0:

Vektoren berechnen







Diese drei Vektoren für stellen das begleitende Dreibein dar. Die Vektoren stehen senkrecht zueinander und haben alle die Länge .

Zusammenfassende Formeln

Folgende Formeln zu Berechnung des Tangenteneinheitsvektors, Hauptnormalenvektors und Binormalenvektors sollten bekannt sein:

VektorenFormel
Tangenteneinheitsvektor   
Binormalenvektor
Hauptnormalenvektor


wobei die Raumkurve darstellt, der Punkt über dem Vektor die 1. und 2. Ableitung und die Betragsstriche die Länge mit .

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