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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Bogenlänge im Raum

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bogenlänge im Raum

Es besteht die Möglichkeit eine Kurve, die in Parameterdarstellung gegeben ist, in eine Kurve mit Bogenlänge umzuwandeln. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

Mit folgender Formel kann man zwischen der Parameterbelegung und der Bogenlänge wechseln:



wobei die Raumkurve darstellt.

Merke

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In Worten: Man berechnet die Bogenlänge indem man die Raumkurve einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach . Man erhält somit die Bogenlänge , die nach umgestellt und dann eingesetzt wird.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben sei die Raumkurve: .

Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge ist:

Ableitung bilden und Länge berechnen



Bogenlänge berechnen



Die Kurve in Bogenlänge

einsetzen ergibt:

.

Tangentenvektor in Bogenlänge

Die Formel ist:  

Normalenvektor in Bogenlänge

Die Formel ist:  





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