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Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Methode
Dabei sind
Merke
Der Vektor
Darstellung eines Vektors als Linearkombination
Wir wollen zeigen, wie ein Vektor als Linearkombination von anderen Vektoren dargestellt werden kann. Hierzu betrachten wir ein Beispiel.
Beispiel
Der Vektor
Die Summe der drei Vektoren die mit den reellen Zahlen
Das obige Beispiel ist sehr einfach, weil es sich hierbei um die Einheitsvektoren handelt. Wir wollen ein weiteres Beispiel betrachten:
Beispiel
Der Vektor
Das folgende Gleichungssystem muss gelöst werden:
Bei diesem Beispiel ist es nicht mehr so einfach, die reellen Zahlen
Dazu stellen wir das folgende Gleichungssystem auf:
Alles auf eine Seite bringen:
(1)
(2)
(3)
Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. Wir können hier zur Bestimmung der Unbekannten die elementaren Umformungen vornehmen. Wir starten damit, die Gleichung (3) von der Gleichung (1) zu subtrahieren. So fallen
(1) - (3):
Danach subtrahieren wir die Gleichung (1) von der Gleichung (2), um
(2) - (1):
Die Unbekannte
(1):
Alle Unbekannten sind bestimmt. Die Linearkombination sieht also wie folgt aus:
Expertentipp
Bei der obigen Berechnung der Unbekannten kann die Berechnung (Subtraktion der Gleichungen) in beliebiger Reihenfolge vorgenommen werden. Sinnvoll ist dabei so vorzugehen, dass möglichst viele Unbekannte wegfallen. Die obigen Berechnungen können auch nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren durchgeführt werden.
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