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Geraden können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden.
Gerade durch den Ursprung
Eine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:
Methode
mit
Die Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor
Die Richtung der Geraden ist somit bestimmt. Diese verläuft in Richtung des Richtungsvektors
Als Beispiel sei
Es wurden hier die beiden äußeren Intervallpunkte gewählt und miteinander verbunden.
Die Gerade verläuft also vom Ursprung in Richtung des Richtungsvektors bis zum Punkt (2,6,0).
Gerade durch einen Vektor
Häufig sind Geraden gegeben, welche nicht durch den Ursprung verlaufen, sondern durch den Endpunkt eines Vektors. Dies ist der Fall bei der folgenden Geradengleichung:
Methode
mit
Damit die obige Gerade nicht durch den Ursprung verläuft müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
muss ungleich null sein. und dürfen nicht in die gleiche Richtung weisen.
Sind diese Bedingungen erfüllt, so verläuft die obige Gerade nicht durch den Ursprung, sondern durch den Endpunkt des Ortsvektors
Der Vektor
Hinweis
In den folgenden Abschnitten betrachten wir jeweils zwei Geraden und zeigen ihre Lagemöglichkeiten zueinander auf. In einem dreidimensionalen Raum existieren für zwei Geraden vier Lagemöglichkeiten:
- Die Geraden sind identisch.
- Die Geraden sind echt parallel.
- Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
- Die Geraden sind windschief zueinander.
Außerdem berechnen wir den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden sowie den Abstand zwischen zwei Geraden!
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