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Wie wir in den vorherigen Abschnitten gesehen haben, können zwei Geraden entweder
- identisch sein
- echt parallel sein oder
- windschief sein.
Identische Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte und weisen keinen Abstand zueinander auf. Der Abstand bei identischen Geraden ist also gleich Null.
Ein Punkt und eine Gerade
Gegeben sei ein Punkt
Methode
Zwei parallele Geraden
Da der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden immer gleich groß ist, wählt man auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus und berechnet den Abstand zwischen der anderen Gerade und diesem Punkt. Am sinnvollsten ist es, den Aufpunkt einer Geraden zu wählen, d. h. den Punkt, auf welchen der Ortsvektor zeigt, und den Abstand von diesem Aufpunkt zur anderen Geraden zu berechnen.
Gegeben seien die parallelen Geraden
Die Berechnung des Abstandes erfolgt dann mit:
Methode
bzw.
Zwei windschiefe Geraden
Die kleinste Strecke, die zwei Geraden
Gegeben seien die windschiefen Geraden
Der Normalenvektor
Methode
Danach wird der Normalenvektor auf die Länge 1 normiert:
Methode
Der Abstand der beiden windschiefen Geraden kann dann berechnet werden zu:
Methode
Merke
Wichtig: Windschiefe Geraden treten nur im dreidimensionalen Raum auf!
Beispiel 1: Abstand zwischen Punkt und Geraden
Wir beginnen mit einem Einführungsbeispiel, in welchem wir dir zeigen wollen, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnet wird:
Beispiel
Gegeben seien der Punkt
Wir ziehen die obige Formel heran:
Methode
Zunächst berechnen wir
Danach berechnen wir:
Als nächstes berechnen wir die Länge des Vektors:
Der Zähler ist bestimmt. Wir betrachten als nächstes den Nenner und berechnen die Länge des Richtungsvektors:
Einsetzen in die Formel ergibt:
Der Abstand des Punktes
Beispiel 2: Abstand zweier paralleler Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden parallelen Geraden
Bestimme den Abstand der beiden parallelen Geraden!
Am sinnvollsten ist es, den Aufpunkt der einen Geraden zu wählen (also den Ortsvektor) und den Abstand dieses Aufpunktes mit der anderen Geraden zu bestimmen.
Wir wählen den Aufpunkt der Geraden
Methode
Wir berechnen zunächst
Danach berechnen wir
Wir berechnen die Länge des Vektors:
Danach berechnen wir den Nenner, indem wir die Länge des Richtungsvektors der Geraden
Einsetzen in die Formel liefert uns:
Beispiel 3: Abstand zweier windschiefer Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden parallelen Geraden
Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden!
Wir bestimmen zunächst den Normalenvektor
Dabei ist
Danach wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht:
Der Zähler ist bereits berechnet. Für den Nenner müssen wir die Länge des Normalenvektors berechnen:
Einsetzen in die Formel:
Der normierte Normalenvektor weist die Länge 1 auf:
Vertiefung
Normalenvektor mit Länge 1
Im letzten Schritt kann der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden bestimmt werden. Hiebei handelt es sich um den kleinsten Abstand zwischen den beiden Geraden (Geimeinlot):
Dabei ist
Die kleinste Strecke zwischen den beiden windschiefen Geraden beträgt 6,253 Maßeinheiten.
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