Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente für ein Dreieck bestimmt.

Beispiel: Dreieck

Gegeben sei das obige Dreieck mit den Seitenlängen und . Die Achsen gehen nicht durch den Schwerpunkt, sondern fallen mit den Seiten des Dreiecks zusammen.

Es wird wieder ein infinitesimal kleiner Streifen der Breite betrachtet, welcher überall den gleichen Abstand zur -Achse besitzt. Die Länge des Steifens ist nun nicht mehr konstant , sondern abhängig davon, wo genau man sich auf der -Achse befindet. Wir bestimmen zunächst die unten rot gekennzeichnete Gerade: 

Bestimmung der Geraden

Eine Gerade wird allgemein berechnet durch:

In diesem Beispiel:

Es fehlt noch die Steigung . Zur Berechnung der Steigung beginnt man auf der y-Achse, dort wo die rote Gerade beginnt. Von dort aus soll das andere Ende der Gerade auf der z-Achse erreicht werden. Dazu geht man -Schritte nach rechts in negative y-Richtung und -Schritte nach unten in positive z-Richtung., daraus folgt . 

Umstellen nach :

     |b ausklammern

Bestimmung der Flächenträgheitsmomente

Die Integration kann nun erfolgen:

Die Integration erfolgt über die gesamte Länge :

Für die Bestimmung von wird ein infinitesimal kleiner Streifen mit der Länge und der Breite gewählt:

Die Integration erfolgt mit:

 mit  mit

Bestimmung des Deviationsmoments

Da keine der beiden Achsen Symmetrieachsen darstellen, ist das Deviationsmoment ungleich Null.

Um dieses zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:

Es wird die Grafik zur Berechnung von verwendet. Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. Das bedeutet also bei . Für dieses infinitesimale Rechteck gilt zudem mit  (siehe oben).

Einsetzen von :

Einsetzen von  :

    |Klammer auflösen

      |Binomische Formel anwenden

   |Klammer auflösen

Integriert wird wieder über die Höhe :

2. Möglichkeit

Bei dieser zweiten Möglichkeit wird der infinitesimale Streifen betrachtet, welcher zur Berechnung von verwendet wurde. Hier gilt ebenfalls wieder, dass der Schwerpunkt eines Rechtecks in der Mitte liegt, also .

  mit   mit  

Einsetzen von :

Einsetzen von :

     |Binomische Formel

   |Klammer auflösen

Integriert wird über die gesamte Höhe :