Turbulente ausgebildete Kreisrohrströmung

Um eine turbulente Strömung genau beschreiben zu können, zerlegen wir einfach die instationären Geschwindigkeitskomponente in einen zeitlichen Mittelwert und eine Schwankungsgröße.

Formal:

Geschwindigkeitskomponente = Zeitliche Mittelwert + Schwankungsgröße

In diesem Zusammehang gilt:

Das bedeutet:

Effektive und molekulare Schubspannungen

Die mittlere Bewegung wird durch die turbulente Schwankungsbewegung beeinflusst. Infolgedessen erhöht sich scheinbar der Widerstand und eine zusätzliche Schubspannung tritt auf.

Formal erklärt sich dieser Zusammenhang wie folgt:

Die Bestandteile und werden wie folgt berechnet:

beschreibt die molekulare Schubspannung.

erfasst die scheinbare turbulente Schubspannung, wobei als Turbulenzmodellierung zu verstehen ist.

Wir können nun zwei Fälle unterscheiden.

1. Es wird die Strömung direkt an der Rohrwand betrachtet. Diese unterliegt der Haftbedingung:

2. Es wird die Strömung nicht direkt an der Rohrwand betrachtet. Eine Beschreibung erfolgt via Näherung:

Kennzahlen: = effektive Schubspannung, = molekulare Schubspannung, = scheinbar turbulente Schubspannung, = Schwankungsgrößen der Geschwindigkeit in r-Richtung und in z-Richtung.

Maximale und mittlere Geschwindigkeit

Nun wird es experimentell und unter Umständen auch ein Wenig kompliziert für dich. In Klausuren wirst du diese kausalen Gleichungen vermutlich nicht benötigen, aber der Vollständigkeit halber:

Mit Hilfe der maximalen Geschwindigkeit können wir auch die mittlere Geschwindigkeit bestimmen für die gilt:

Abschließend können wir mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit den Volumenstrom bestimmen:

Kennzahlen: = Schwankungsgröße der Geschwindigkeit in r-Richtung, = Maximale Geschwindigkeit, = mittlere Geschwindigkeit, Volumenstrom, = Radius des Rohrs, = Exponent.

Druck und Druckabweichung

Jetzt betrachten wir noch die physikalische Größe Druck, bzw. die Druckabweichung:

Den letzten Faktor der obigen Gleichung hast du vermutlich schon als dimensionslose Widerstandszahl identifiziert. Deshalb formulieren wir unseren Gleichung um zu:

Kennzahlen: = Rohrdurchmesser, = Länge des Rohrstücks, = Dichte des Fluids, = dimensionslose Widerstandszahl.

Fehlt an dieser Stelle nur noch eine Gleichung um einfach beschreiben zu können. Uns stehen sogar zwei Gleichungen zur Verfügung:

1. Ansatz nach Blasius mit

2. Universelle Widerstandsgesetz des glatten Rohres mit