Länge von Vektoren

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Länge eines Vektors. Die Länge eines Vektors wird in der Mathematik Betrag des Vektors genannt und mit Betragsstrichen gekennzeichnet:

Der Betrag eines Vektors ist eine skalare Größe und immer positiv, außer es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null).

Die Länge eines Vektors kann bestimmt werden durch:

Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren

Einheitsvektor

Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:

Alle drei Einheitsvektoren weisen die Länge 1 auf:

Mit Hilfe der drei Einheitsvektoren, lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Einheitsvektoren darstellen:

Der Ortsvektor ist dann eine Linearkombination aus den drei Einheitsvektoren:

Normieren von Vektoren

Ist ein Vektor mit der Länge ungleich 1 gegeben, so kann man diesen Vektor normieren. Das bedeutet, dass dieser Vektor nach dem Normieren die Länge 1 aufweist. Das Normieren von Vektoren wird wie folgt vorgenommen:

In Worten: Eins durch die Länge des Vektors mal den Vektor .

Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Normieren

Es soll nun die Länge des Vektors berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt zum Punkt , der Pfeil zeigt also auf den Punkt . Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren und dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte:

Es wird zunächst der Vektor bestimmt, indem der Punkt vom Punkt subtrahiert wird. Die Koordinaten der Punkte und entsprechen ihren Ortsvektoren. Die Orstvektoren werden bestimmt zu: 

.

Als nächstes wird der Richtungsvektor bestimmt, welcher zwischen den beiden Punkten und liegt. Hierfür wird der Punkt vom Punkt abgezogen:

Der Abstand der beiden Punkte und entspricht der Länge des Richtungsvektors :

Der normierte Vektor wird bestimmt durch:

Es wird nun also der Vektor durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:

Der normierte Vektor ist demnach mit der Länge :

Legen wir diesen normierten Vektor mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung, so zeigt dieser auf den Punkt :

Der Einheitsvektor mit der Länge 1, zeigt in dieselbe Richtung wie der Vektor . Er ist allerdings kürzer als der Ausgangsvektor, weil der Ausgangsvektor eine Länge von 3,16 aufweist. Der Ausgangsvektor wurde also mit dem Skalar von multipliziert, um auf die Länge von 1 zu gelangen.