Inhaltsverzeichnis
Nachdem wir nun die Eigenfrequenz
Das Ort-Zeit-Gesetz gibt die Position (Auslenkung) des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Geschwindigkeit des Pendels und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz die Beschleunigung des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit
Sinus-Funktion
Befindet sich ein Pendel zum Zeitpunkt
Merke
Der Sinus wird dann angewandt, wenn der Ausgangspunkt der Bewegung die Ruhelage darstellt.
Um die Bewegungsgleichungen als nächstes aufführen zu können ist es wichtig zu wissen, dass jede harmonische Schwingung mit der Bewegung eines bestimmten Punktes auf einer Kreisscheibe verglichen werden kann. Dabei ist der einmalige Durchlauf des Kreises gleich der Schwingungsdauer
In der obigen Grafik ist der zeitliche Verlauf der Phasenwinkel für ein horizontal schwingendendes Pendel als so genanntes Zeigerdiagramm dargestellt.
Im obigen Fall ist der Ausgangspunkt der Bewegung die Ruhelage des Pendels. Der Kreisdruchlauf beginnt auf der Ordinate bei
Ort-Zeit-Funktion
Die Sinusfunktion beginnt im Ursprung, deswegen ist es möglich diese harmonische Bewegung, bei welcher die Bewegung bzw. die Zeitmessung im Ausgangspunkt beginnt mithilfer der Sinusfunktion zu beschreiben:
Methode
Dabei ist
Merke
Die Amplitude
Mithilfe der Ort-Zeit-Funktion kann die Lage des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt
Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
Die Geschwindigkeit kann durch die Ableitung der Auslenkung nach der Zeit
Methode
mit
Mithilfe der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion kann die Geschwindigkeit des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt
Beschleunigungs-Zeit-Funktion
Die Beschleunigung wird dann durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmt:
Methode
mit
Mithilfe der Beschleunigungs-Zeit-Funktion kann die Beschleunigung des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt
Diese drei Bewegungsgleichungen gelten für das Federpendel, Fadenpendel und das physikalische Pendel bei Vorliegen einer ungedämpften harmonischen Schwingung. Allerdings muss noch die jeweilige Eigenfrequenz
Anwendungsbeispiel 1: Ungedämpfte harmonische Schwingung
Beispiel
Ein Körper führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung aus. Die Weg-Zeit-Funktion seiner Bewegung lautet:
Bestimme für diese Schwingung:
die Eigenfrequenz
die Schwingungsdauer
die Amplitude
Wir betrachten die obige Bewegungsgleichung und kennen aus diesem Abschnitt den Aufbau dieser Gleichung:
Vergleichen wir nun die Gleichung aus dem Beispiel mit der dieser allgemeinen Ort-Zeit-Funktion so können wir ganz einfach ablesen:
- Die Amplitude
- Die Eigenfrequenz
Die Schwingungsdauer
Auflösen nach
Einsetzen von
Die Schwingungsdauer (einmaliges Hin- und Herschwingen) dauert 2 Sekunden.
Beispiel
Gegeben sei die obige Bewegungsgleichung. Wie groß sind für den Körper zum Zeitpunkt
(a) die momentane Auslenkung
(b) die momentane Geschwindigkeit
(c) die momentane Beschleunigung
Wir betrachten zunächst die momentane Auslenkung bei
Der Körper befindet sich zum Zeitpunkt
Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
Einsetzen von
Die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt
Die maximale Geschwindigkeit
Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion wird durch die erste Ableitung der Geschwindigkeit bestimmt:
Einsetzen von
Die Beschleunigung ist zu diesem Zeitpunkt null. Die Beschleunigung ist in der Ruhelage immer Null und an den Umkehrpunkten am Größten. Die maximale Beschleunigung
Anwendungsbeispiel 2: Ungedämpfte harmonische Schwingung
Beispiel
Die Amplitude
Die Maximalgeschwindigkeit
Die Eigenfrequenz
Es lässt sich also zunächst aus der Periodendauer
Die Maximalgeschwindigkeit beträgt:
Die Maximalbeschleunigung bestimmt sich durch:
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