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Als nächstes wollen wir die Bewegungsgleichungen für das Fadenpendel angeben, wobei die Eigenfrequenz
Bei dem Fadenpendel stellt sich eine harmonische Schwingung ein, wenn die Auslenkung minimal ist. Das bedeutet also, dass wir hier von sehr kleinen Auslenkungen ausgehen. Dann können wir die Amplitude (Abstand von Ruhelage zur maximale Auslenkung) als Strecke
Für die Eigenfrequenz
Methode
Es ergibt sich demnach für die Bewegungsgleichungen für das Fadenpendel unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz:
Methode
Die Schwingungsdauer
Methode
Lage des Fadenpendels anhand des Winkels
Es ist ebenfalls möglich die Lage des Fadenpendels mittels Winkelfunktion
Dabei ist
Unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz ergibt sich:
Methode
Anwendungsbeispiel: Fadenpendel
Beispiel
Ein an einem Seil hängender Körper führt in 20 Sekunden 5 Perioden aus. Der Weg von einem Umkehrpunkt zum anderen beträgt 25 cm. Wie lang ist das Seil? Berechne die Auslenkung nach 1s, 2s, 3s, 4s und 1 min. Alle Zeiten
Wir wissen, dass der Körper in 20 Sekunden 5 Schwingungen ausführt. Wir wollen als nächstes die Schwingungsdauer
20s - 5 Schwingungen
x - 1 Schwingung
Für eine Schwingung benötigt der Körper also
Der Abstand zwischen den beiden Umkehrpunkten beträgt 25 cm. Da wir hier harmonische Schwingungen betrachten, welche in der Ruhelage beginnen, kann man diese mit der Sinusfunktion abbilden. Die Amplitude lässt sich aus dem Abstand zwischen den beiden Umkehrpunkten bestimmt. Beide Umkehrpunkte (obere und untere) weisen denselben Abstand von der Ruhelage (t-Achse) auf. Wir können also den Abstand durch zwei teilen und erhalten die Amplitude
Methode
Die Amplitude ist der Abstand von der Ruhelage zur maximalen Auslenkung. Die maximale Auslenkung ist der Umkehrpunkt.
Die Funktion für die Auslenkung ist der dem Fadenpendel wie folgt:
Wir haben die Länge des Seils nicht gegeben, deswegen müssen wir diese berechnen. Es gilt der folgende Zusammenhang:
Quadrieren und nach
Einsetzen der Werte:
Methode
Das Seil besitzt eine Länge von
Den Bruch lassen wir deshalb stehen, damit wir später keine Rundungsfehler erhalten.
Es kann als nächstes die Auslenkung zu den angegebenen Zeitpunkten bestimmt werden:
Der Term innerhalb der Sinusklammer kann gekürzt werden zu:
Man kann sich das Ganze auch gut bildlich vorstellen. Eine Schwingung dauert insgesamt 4 Sekunden. Da es sich um eine Sinusfunktion handelt, dauert also eine halbe Schwingung von der Ruhelage bis zur Ruhelage insgesamt 2 Sekunden. Da die Bewegung in der Ruhelage beginnt, befindet sich der Körper zum Zeitpunkt
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