Iterative Bestimmung der Rohrreibungszahl Lambda

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Rohrreibungszahl iterativ bestimmt, wenn nicht alle Werte gegeben sind, um diese direkt aus dem Moody-Diagramm abzulesen. Die iterative Ermittlung wird im Folgenden anhand eines Beispiels aufgezeigt. 

Beispiel: Iterative Ermittlung der Rohrreibungszahl

Zunächst einmal wird die Bernoulli-Gleichung von nach aufgestellt. Es wird hier die Bernoullische Höhengleichung verwendet (alternativ können auch die anderen beiden Gleichungen herangezogen werden):

.

Da keine Einzelverluste berücksichtigt werden, reduziert sich die Gleichung auf:

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Es gilt , d.h. die Geschwindigkeit strebt gegen null: . Die Gleichung ändert sich also zu (Term mit fällt weg):

.

Außerdem gilt, dass und . Der Punkt befindet sich bereits auf dem Bezugsniveau, weshalb die Höhe null ist:

.

Der Druck im Punkt ist gleich dem Umgebungsdruck , weil der Behälter offen ist: . Dasselbe gilt für den Druck an der Stelle . Das Rohr führt ins Freie, weshalb gilt: . Da , heben sich die Terme mit und gegenseitig auf:

.

Welche Größen müssen berechnet werden?

Um herauszufinden welche Größen berechnet werden müssen, werden zunächst alle in der Aufgabenstellung gegebenen Werte in die Gleichung eingesetzt:

.

Es wird also die Geschwindigkeit sowie die Rohrreibungszahl benötigt, um dann den Durchmesser bestimmen zu können.

Berechnung der Geschwindigkeit und des Durchmessers

Die Geschwindigkeit lässt sich aus dem Volumenstrom bestimmen, es gilt:

  mit .

Da der Durchmesser fehlt, kann die Geschwindigkeit nicht berechnet werden, sondern erst nachdem der Durchmesser bestimmt worden ist. Man setzt nun in die obige Gleichung ein und erhält:

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Kürzen:

.

Ausklammern ergibt:

Man nimmt nun Folgendes an:

und damit .

In diesem Fall also . Das bedeutet also, dass der rechte Term in der Klammer um ein Vielfaches größer wird als 1. Die in der Klammer kann also demnach vernachlässigt werden, weil diese das Ergebnis so gut wie nicht verändert:

.

Nun kann das Ganze nach aufgelöst werden:

.

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Einsetzen des Volumenstroms aus der Aufgabenstellung (Umrechnung in ):

Mittels dieser Formel kann nun der Durchmesser bestimmt werden. Allerdings fehlt hierfür noch die Rohrreibungszahl .

Bestimmung der Rohrreibungszahl

Die Rohrreibungszahl wird nun zunächst einmal auf einen beliebigen Wert festgelegt. Hierbei ist es ratsam einen niedrigen Wert zu nehmen. Es wird eine beliebige Rohrreibungszahl von festgelegt. Die Iteration kann nun beginnen. Zunächst wird der Durchmesser mit dieser Rohrreibungszahl berechnet:

.

Als nächstes kann die Geschwindigkeit bestimmt werden, die notwendig für die Reynolds-Zahl ist:

.

.

Es kann nun die Reynolds-Zahl bestimmt werden:

Und es fehlt noch die Wandrauigkeit:

Mittels der Reynolds-Zahl und der Wandrauigkeit kann nun das neue aus dem Moody-Diagramm bestimmt werden. Ist dieses gleich , so sind die berechneten Ergebnisse korrekt. Ist , so müssen die obigen Berechnungen erneut durchgeführt werden und zwar solange bis sich nicht mehr ändert.

Aus dem Moody-Diagramm ergibt sich ein . Da muss eine weitere Iteration durchgeführt werden. Das neue wird nun wieder benötigt, um den Durchmesser zu bestimmen, dann wird die Geschwindigkeit bestimmt und damit die Reynolds-Zahl und die Wandrauigkeit, um wieder aus dem Moody-Diagramm die Rohrreibungszahl zu ermitteln:

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Es ist , wobei die Rohrreibungszahlen fast gleich sind. Es wird aber trotzdem noch eine Iteration durchgeführt, um sicher zu gehen:

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Aus dem obigen Moody-Diagramm kann man ablesen, dass die Rohrreibungszahl bei liegt. Demnach ist hier die Iteration abgeschlossen. Der Durchmesser des Rohrs beträgt:

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