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In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, dass sich die ebene Bewegung eines starren Körpers aus der Translationsbewegung und Rotationsbewegung zusammensetzt. Es ist aber auch möglich, die ebene Bewegung eines starren Körpers als reine Drehnbewegung um einen momentanen Drehpunkt
Dabei existiert ein Momentanzentrum nur bei einer momentanen ebenen und nicht! rein translatorischen Bewegung. Das bedeutet, es muss eine Rotationsbewegung gegeben sein, wobei die Drehachse des rotatorischen Bewegungsanteils senkrecht zur Schwerpunktsgeschwindigkeit des Körpers ist. Liegt eine reine Rotation vor, so ist die Geschwindigkeit jedes Punktes senkrecht zur Drehachse. Das bedeutet, dass sich der Drehpunkt
Methode
Ein Beispiel soll zeigen, wie genau das Momentanzentrum, also die Lage des Drehpunktes
Bei der Drehung der Scheibe wird die Bogenlänge
Methode
Die Ableitung von
Da
Dies entspricht der Geschwindigkeit
Methode
Es gilt weiter, dass der Körperpunkt auf der Scheibe, der die horizonatale Ebene berührt in diesem Moment die Geschwindigkeit Null besitzt. Dieser Punkt stellt das Momentanzentrum bzw. den Drehpunkt
Betrachtet man nun die Geschwindigkeit eines bliebigen Körperpunktes
Auflösen von
Methode
Diese Geschwindigkeit steht senkrecht auf der Geraden
Es gilt
Umstellen von
Methode
Grafische Lösung
Für die grafische Bestimmung des Momentanzentrums, werden die folgenden Fälle betrachtet:
Gegeben sei die Geschwindigkeitsrichtung
Gegeben seien zwei Punkte, sowie ihre nicht-parallelen Geschwindigkeitsrichtungen. Die Beträge müssen hier nicht gegeben sein. Zur Bestimmung des Momentanzentrums, zeichnet man die Senkrechten
Die Geschwindigkeitsvektoren liegen parallel zueinander, weisen aber unterschiedliche Beträge auf (keine reine Translation), d.h. der Körper rotiert. Es kann eine Aussage über die Lage des Drehpunktes getroffen werden. Die Zeichnung erfolgt dann, indem eine senkrechte Gerade
Die Geschwindigkeitsrichtungen und die Geschwindigkeitsbeträge sind für beide Punkte gleich -> Es kann keine Aussage über die Lage des Momentanzentrums getroffen werden. Da die Geschwindigkeitsvektoren in diesem Fall parallel zueinander liegen, werden die Senkrechten ebenfalls parallel zueinander stehen und sich nicht scheiden. Es liegt demnach eine reine Translationsbewegung (keine Rotation) vor, aus welcher man das Momentanzentrum nicht bestimmen kann:
Sind die Geschwindigkeitesrichtungen und die Beträge zweier paralleler Punkte gegeben, wobei die Richtungen der Geschwindigkeiten entgegengesetzt zueinander sind, so kann das Momentanzentrum bestimmt werden, indem die Verbindungsgerade zwischen den beiden Pfeilspitzen gezogen wird. Dort wo sich die Verbindungsgerade und die Senkrechte schneidet, liegt das Momentanzentrum
Ist ein Punkt gegeben mit
Zusammenfassung
- Die Geschwindigkeit steht immer senkrecht auf den Verbindungsgeraden zum Momentanzentrum.
- Das Momentanzentrum kann außerhalb des Körpers liegen.
- Das Momentanzentrum kann während der Bewegung seine Position veränder,
ist also kein fester Punkt. - Das Momentanzentrum besitzt die momentane Geschwindigkeit
. - Ist die momentane Geschwindigkeit eines Körpers Null, so ist dieser Punkt das Momentanzentrum
. - Sind die Geschwindigkeitsrichtungen zweier Punkte bekannt sind, so lässt sich die Lage von
bestimmen: Schnittpunkt der Senkrechten zu den beiden Geschwindigkeiten = Momentanzentrum!
Anwwendungsbeispiel: Momentanzentrum grafisch bestimmen
Beispiel
Gegeben sei die obige Grafik. Bestimmen Sie das Momentanzentrum
Es müssen hier die Punkte
Nachdem nun die Geschwindigkeitsrichtungen bestimmt worden sind, kann mittels der Senkrechten von
Anwendungsbeispiel: Momentanzentrum grafische Lösung
Beispiel
Gegeben sei die obige Grafik. Bestimmen Sie das Momentanzentrum für die Koppelstange
In der Grafik ist gut zu erkennen, dass sich die Punkte
Da die beiden Stangen
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