Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss

(a) Vorhaltewinkel

Bei einem Vorhaltewinkel handelt es sich um einen Korrekturwinkel. Dieser muss eingenommen werden, damit das Boot den Punkt erreicht. Würde sich das Boot auf der Strecke ohne Korrekturwinkel bewegen (Wirkungslinie fällt mit der Strecke AB zusammen), so würde durch die Fließgeschwindigkeit des Wassers das Boot nicht beim Punkt ankommen, sondern viel weiter entfernt das andere Ufer erreichen.
Nur wenn es sich um ein stilles Gewässer handelt, kann das Boot mit seiner Wirkungslinie auf der Strecke fahren, um den Punkt zu erreichen. Da es sich hier aber um ein Strömung handelt, muss das Boot sich ein wenig entgegen der Strömung bewegen (mit einem bestimmen Winkel zur Strecke ) um am Ende am Punkt anzukommen und die Strecke einzuhalten. Die Frage ist nun, wie groß der Korrekturwinkel von der Strecke zu seiner Fließrichtung sein muss, damit das Boot den Punkt erreicht:

In der obigen Grafik ist der Vorhaltewinkel bzw. Korrekturwinkel eingezeichnet, welchen das Boot einhalten muss, damit das Boot auf der Strecke  verbleibt und am Ende den Punkt erreicht. Der Bootsführer muss dem Wasserstrom also entgegenlenken. Den Winkel kann man so nun nicht einfach bestimmen, da die Geometrie hier nicht ausreichend ist.

Es müssen zusätzlich noch die Relativgeschwindigkeit des Bootes eingezeichnet werden, welche mit der Wirkungslinie des Bootes zusammenfällt und die Fließgeschwindigkeit des Wassers , in Richtung der positiven -Achse.

Der Vektor liegt genau auf der Strecke , weil das Boot mit dem Korrekturwinkel mit der Relativgeschwindigkeit gegen den Strom steuert und das Boot somit auf der Strecke verbleibt um am Ende am Punkt anzukommen. Es wurden außerdem noch die Winkel und ergänzend zugefügt.

Es kann nun begonnen werden den Vorhaltewinkel zu bestimmen. Dazu wird zunächst der Winkel bestimmt. Dieser ist nämlich äquivalent zu dem Winkel zwischen und (gestrichelt) . Damit kann man das Dreieck [ - (gestrichelt) - ] verwenden um zu bestimmen.

Der Winkel berechnet sich durch (Betrachtung des Dreiecks AB - BC - CA):

Es kann nun das Dreieck [ - (gestrichelt) - ] betrachtet und bestimmt werden. Das Ganze erfolgt mit dem Sinussatz:

Auflösen nach :

Das Boot muss also zur Strecke  einen Korrekturwinkel von entgegen der Stromrichtung einnehmen, damit dieses auf der Strecke  verbleibt und am Ende am Punkt angelangt.

(b) Absolutgeschwindigkeit des Bootes

Die Absolutgeschwindigkeit des Bootes ist die Resultierende der beiden in der Aufgabenstellung angegebenen Geschwindigkeiten und .
Die Resultierende bestimmt sich, indem man das Dreieck [v_w] betrachtet. Der Winkel ist ebenfalls zwischen und gestrichelt. Es kann nun also ganz einfach mittels Sinussatz die Absolutgeschwindigkeit bestimmt werden. Zunächst muss der gegenüberliegende Winkel von bestimmt werden:

Es kann nun der Sinussatz angewandt werden:

alternativ:

Das Boot ist also, wenn man es vom Ufer aus betrachtet, mit 2,17 m/s unterwegs.

(c) Zeitdauer

Die mittlere Bahngeschwindigkeit bestimmt sich durch:

Dabei ist die gerade Strecke zwischen zwei Punkten. Bei einer Bahn die eine Strecke darstellt (wie in diesem Beispiel), ist dies auch gleichzeitig die tatsächliche Geschwindigkeit. Würde es sich im obigen Beispiel um eine gekrümmte Bahn handeln, dann würde man mittels dieser Gleichung nur die mittlere Bahngeschwindigkeit ermitteln können. 

Für gilt die Strecke von B nach C, und diese kann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden (Betrachtung des Dreiecks AB - BC - CA):

Die Bahngeschwindigkeit ist hier: .

Aufgelöst nach der Zeit ergibt sich dann:

Das Boot bewegt sich mit einem Korrekturwinkel von zur Strecke und einer Bootsgeschwindigkeit von 2 m/s auf der Bahn mit einer absoluten Geschwindigkeit 2,17 m/s über das Wasser. Das Boot fährt im Punkt los und erreicht den Punkt nach 83,46 Sekunden.