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Technische Mechanik 3: Dynamik

Stoßvorgänge

Der Impulssatz findet meist Anwendung bei Stoßvorgängen. Ein Stoß ist dadurch gekennzeichnet, dass eine sehr große Kraft $F$ über einen kurzen Zeitraum $\triangle t$ (Stoßdauer) auf den Massenpunkt wirkt. Dieser erfährt dann eine plötzliche Geschwindigkeitsänderung. Die Stoßdauer $\triangle t$ wird also so kurz angenommen, dass eine Lageänderung des Körpers während des Stoßvorganges vernachlässigt werden kann. 

Beispiel

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Man stelle sich einen Golfball vor. Man versetzt beim Golfspielen dem Golfball mittels Schläger einen kurzen kräftigen Stoß. Der Golfball erfährt dadurch eine plötzliche Geschwindigkeitsänderung. Dabei wird die Stoßdauer als so klein angenommen, dass die Lageänderung des Golfballes während des Stoßes vernachlässigt werden kann.

Bei solchen Stoßvorgängen, ist häufig die Geschwindigkeit des Massenpunktes vor dem Stoß gegeben und es soll die Geschwindigkeit des Massenpunktes nach dem Stoß bestimmt werden. Da der Verlauf der Kraft $F$ während des Stoßes meistens unbekannt ist, wird die Kraftstoß $\tilde{F} \triangle t$ eingeführt:

$\tilde{F} \triangle t  = \int F \; dt$

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt:

$\int F \; dt = mv - mv_0$

Demnach ist der Kraftstoß $\tilde{F} \triangle t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\tilde{F} \triangle t = mv - mv_0$

Der Kraftstoß ist also die Differenz aus dem Impuls nach dem Stoß $mv$ und dem Impuls vor dem Stoß $mv_0$. Der Kraftstoß hat - wie der Impuls - die Einheit: $Ns$ bzw $\frac{kg \; m}{s}$.

Beispiel

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Zur Veranschaulichung der Problematik wird ein Massenpunkt betrachtet, welcher mit der Geschwindigkeit $v_0$ im Winkel von $\alpha_0$ auf eine glatte Wand auftrifft:


Als nächstes wird das Freikörperbild aufgezeigt. Dieses wird für den Stoß (Massenpunkt trifft auf die Wand) gezeichnet:

Da es sich um eine glatte Wand handelt, treten keine Reibungskräfte in $z$-Richtung auf. Es tritt demnach nur eine Kraft $F$ (von der Wand auf den Massenpunkt) in $x$-Richtung auf. 

Die Komponentendarstellung für die betrachtete $z$,$x$-Ebene lautet dann:

Methode

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$\leftarrow \; \tilde{F}_x \triangle t = mv_x - mv_{x0}$

$\uparrow \; \tilde{F}_z \triangle t = mv_z - mv_{z0}$

Es werden nun zunächst die Geschwindigkeiten in ihre Komponenten zerlegt:

$v_{0x} = -v_0 \cos (\alpha_0) $       

$v_{0z} = -v_0 \sin (\alpha_0) $

Die negativen Vorzeichen resultieren, weil sich der Massenpunkt vor dem Stoß in negative $x$- und $z$-Richtung bewegt.


$v_x = v \cos (\alpha)$

$v_z = -v \sin (\alpha)$

Nach dem Stoß bewegt sich der Massenpunkt in positive $x$- und negative $z$-Richtung. Demnach muss die Geschwindigkeit in $z$-Richtung nach dem Stoß negativ werden.

Betrachtung der z-Richtung

Es wird  angenommen, dass die Wand auf die der Massenpunkt trifft glatt ist. Das bedeutet, dass hier keine Reibungskräfte $R$ in $z$-Richtung auftreten. Die Wand kann also keine Kraft in $z$-Richtung auf den Massenpunkt ausüben: 

$ \tilde{F}_z = 0$

und damit

$ \tilde{F}_z  \triangle t = 0$ und $mv_z - mv_{z0} = 0$.


Daraus folgt:

$mv_z = mv_{z0}$


Da die Masse $m$ konstant ist, gilt:

Methode

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$v_z = v_{z_0}$

Das bedeutet die Anfangsgeschwindigkeit in $z$-Richtung ist gleich der Endgeschwindigkeit in $z$-Richtung.

Betrachtung der x-Richtung

Es wird als nächstes die $x$-Richtung betrachtet. Hierzu werden zwei Phasen betrachtet:

Kompressionsphase

Die Kompressionsphase bezeichnet diejenige Phase, in welcher der Körper auf die Wand trifft und in der Zeit $\triangle t$ zusammengedrückt wird. Hier wird der Massenpunkt also nicht mehr als vollkommen starr angenommen, sondern als lokal deformierbar. Zum Zeitpunkt der maximalen Zusammendrückung wird die Kraft $\tilde{F}_x = F_{max}$ maximal. Der Kraftstoß innerhalb der Kompressionsphase sei bezeichnet als $\tilde{F}_K \triangle t$:

Methode

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$\tilde{F}_K \triangle t = mv_x - mv_{0x}$.

Restitutionsphase

In dieser Phase bildet sich der Körper ganz oder teilweise zurück. Dabei sei der Kraftstoß innerhalb der Restitutionsphase bezeichnet als $\tilde{F}_R \triangle t$:

Methode

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$\tilde{F}_R \triangle t = mv_x - mv_{0x}$


Betrachtet man nun den Massenpunkt welcher auf die Wand aufschlägt, so gilt für die Kompressionsphase (Phase des Aufpralls und Zusammendrückens) $v_x = 0$. Die Geschwindigkeit ist für die Kompressionphase Null, da der Massenpunkt in dieser Phase auf die Wand aufschlägt und zusammengedrückt wird. Es gilt also:

$\tilde{F}_K \triangle t = m \cdot 0 - mv_{0x}$.

Für die Restitutionsphase ist die Geschwindigkeit $v_{0x} = 0$, da die Phase nur die Rückbildung betrachtet:

$\tilde{F}_R \triangle t = mv_x - m \cdot 0$.

Merke

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Es existieren nun die drei Unbekannten: $\tilde{F}_K$, $\tilde{F}_R$ und $v_x$. Die Geschwindigkeit vor dem Stoß $v_{0x}$ soll gegegen sein.

Um nun weitere Aussagen über das Verformungsverhalten des Körpers treffen zu können, um dann daraus die drei Unbekannten bestimmen zu können, müssen drei Fälle unterschieden werden:

  • Elastische Verformung
  • Unelastische Verformung
  • Teil-elastische Verformung.

Elastische Verformung

Bei der elastischen Verformung bildet sich der Körper in der Restitutionsphase vollständig zurück. Das bedeutet, dass der Kraftstoß beim Aufprall gleich dem Kraftstoß beim Abstoßen ist: $\tilde{F}_K \triangle t = \tilde{F}_R \triangle t$:

$m \cdot 0 - mv_{0x} = mv_x - m \cdot 0$.

$-mv_{0x}  = mv_x $    / mit $m = const$

Methode

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$-v_{0x} = v_x$

Bei der elastischen Verformung ist die Geschwindigkeit vor dem Stoß $v_{0x}$ gleich der Geschwindigkeit nach dem Stoß $v_x$. Das negative Vorzeichen besagt einfach, dass der Massenpunkt zunächst in Richtung der bewegt.

 

Beispiel

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Als Beispiel kann man hier einen Flummi ansehen, welchen man an eine Wand wirft. Dieser verformt sich zunächst beim Aufprall, bildet sich aber in der Restitutionsphase vollständig zurück. Die gesamte Bewegungsenergie (kinetische Energie) bleibt demnach erhalten und die Kraftstöße beim Aufprall und beim Abstoß sind gleich.

Unelastische Verformung

Bei der unelastischen Verformung bildet sich der Körper nicht mehr zurück. Die gesamte Verformung innerhalb der Kompressionsphase bleibt vollständig erhalten. Der Kraftstoß innerhalb der Restitutionsphase verschwindet $\tilde{F}_R \triangle t = 0$ (die gesamte Bewegungsenergie geht in innere Energie über):

$\tilde{F}_K \triangle t = m \cdot 0 - mv_{0x}$.

$\tilde{F}_R \triangle t = 0$.

Methode

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$\tilde{F}_K \triangle t = -mv_{0x}$

Auch hier zeigt das negative Vorzeichen an, dass der Massenpunkt sich vor dem Stoß in negative Achsenrichtung bewegt.

Beispiel

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Als Beispiel kann man hier näherungsweise ein Ei ansehen, welches man an eine Wand wirft. Das Ei zerplatzt beim Aufprall und rutscht an der Wand herunter. Die Bewegungsenergie (kinetische Energie) wird komplett in innere Energie umgewandelt. Die Stoßkraft für den Abstoß ist also nicht vorhanden.

Teil-elastische Verformung

Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich der Körper innerhalb der Restitutionsphase teilweilse zurück, nimmt aber nicht mehr die ursprüngliche Form an. Diese teilweise Rückbildung kann mit der Stoßzahl $e$ ausgedrückt werden:

Methode

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$\tilde{F}_R \triangle t = e \tilde{F}_K \triangle t$      mit   $0 \le e \le 1$


Hierbei ist es so, dass die Bewegungsenergie teilweise in inneren Energie umgewandelt wird. Die Stoßkraft beim Aufprall $\tilde{F}_K$ ist hier größer als die Stoßkraft beim Abstoßen $\tilde{F}_R$. 

Merke

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Nimmt $e$ den Wert $1$ an, so existiert eine elastische Verformung, nimmt $e$ den Wert $0$ an eine unelastische.

Zurück zum Beispiel

Es soll nun im Weiteren gezeigt werden, wie man die Geschwindigkeiten in $z$-Richtung und in $x$-Richtung bestimmt. Dabei werden alle drei Verformungsfälle aufgezeigt. 

Beispiel

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Es sei weiterhin das obige Beispiel gegegeben. Die Anfangsgeschwindigkeit sei $v_0 = 50 \frac{m}{s}$, der Winkel $\alpha_0 = 30°$. Die Masse sein $m = 10 kg$. Es soll nun die Endgeschwindigkeit $v$ und der Winkel $\alpha$ bestimmt werden, für eine

a) elastische

b) unelastische

und

c) teilelastische Verformung für $e = 0,5$.

Es wird zunächst die $z$-Richtung betrachtet:

$\uparrow \; \tilde{F}_z \triangle t = mv_z - mv_{0z}$

Es wirken keine Kräfte in $z$-Richtung auf den Massenpunkt. Grund dafür ist die glatte Wand, die keine Reibung ausübt und demnach liegen auch keine Reibungskräfte vor.

$ \tilde{F}_z \triangle t = 0$

Und damit:

$mv_z - mv_{0z} = 0$

$v_z = v_{0z}$

Die Komponentendarstellung hat ergeben:

$v_{0z} = -v_0 \sin (\alpha_0) $

$v_z = -v \sin (\alpha)$

Wir haben nur die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und den Aufprallwinkel $\alpha_0$ gegeben. Weshalb wir mit der ersten Gleichung weiterrechnen.


Es gilt:

$v_{0z} = v_z$


Einsetzen von $v_{0z} = -v_0 \sin (\alpha_0) $ ergibt:

$v_z = -v_0 \sin (\alpha_0) $


Einsetzen der Werte:

Methode

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$v_z = -50 \frac{m}{s} \sin (30°) = -25 \frac{m}{s}$

Die Endgeschwindigkeit $v_z$ in $z$-Richtung ist für a), b) und c) identisch. 


Als nächstes muss die Geschwindigkeit $v_x$ bestimmt werden, damit die Endgeschwindigkeit $v$ bestimmt werden kann. Hier werden nun die Fälle a), b) und c) unterschieden.

a) Elastische Verformung

Es wird zunächst die Komponentendarstellung in $x$-Richtung gewählt:

$ \tilde{F}_x \triangle t = mv_x - mv_{x0}$


Im obigen Freikörperbild wirkt die Stoßkraft $F$ von der Wand auf den Massenpunkt in Richtung der positiven $x$-Achse:

$\leftarrow \; F = mv_x - mv_{x_0}$

Diese Kraft $F$ wird nun in den Kraftstoß während des Aufpralls $F_K \triangle t$ und den Kraftstoß während des Abstoßes $F_R \triangle t$ unterteilt:


Für die Kompressionsphase gilt:

$F_K \triangle t = m \cdot 0 - mv_{x_0}$

Methode

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$F_K \triangle t = -mv_{x_0}$


Für die Restitutionsphase gilt:

$F_R \triangle t = m \cdot v_x - m \cdot 0$

Methode

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$F_R \triangle t = m \cdot v_x$


Bei der elastischen Verformung gilt:

$F_K \triangle t = F_R \triangle t $


Und damit:

$-mv_{x_0} = m \cdot v_x$

Mit $m = const$:

$-v_{x_0} = v_x$

Die Komponentendarstellung hat ergeben:

$v_{0x} = -v_0 \cos (\alpha_0) $

$v_x = v \cos (\alpha)$

Wir haben  in der Aufgabenstellung die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und den Aufprallwinkel $\alpha_0$ gegeben. Demnach betrachten wir im Weiteren die erste Gleichung.

Es gilt:

$-v_{x_0} = v_x$

Einsetzen von $v_{0x} = -v_0 \cos (\alpha_0)$ ergibt:

$v_x = v_0 \cos (\alpha_0) $

Einsetzen der Werte:

Methode

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$v_x = 50 \frac{m}{s} \cos (30°) = 43,30 \frac{m}{s}$


Es kann nun die Endgeschwindigkeit $v$ für die elastische Verformung bestimmt werden:

Methode

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$v = \sqrt{v_x^2 + v_z^2} = \sqrt{(43,30)^2 + (-25 )^2} = 50 \frac{m}{s}$


Der Abprallwinkel $\alpha$ ergibt sich zu:

$v_x = v \cos (\alpha)$

Umstellen nach $\alpha$:

$\cos^{-1} (\frac{v_x}{v}) = \alpha$

Methode

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$\alpha = \cos^{-1} \frac{43,30}{50} = 30°$


Bei der elastischen Verformung ist die Anfangs- und Endgeschwindigkeit sowie der Winkel des Aufpralls und des Abstoßes jeweils gleich.

Der Kraftstoß in der Kompressionsphase ist:

Methode

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$F_K \triangle t = -mv_{0x} = -10 kg \cdot -50 \cdot \cos(30°) = 433 Ns$


Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist:

Methode

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$F_R \triangle t = m \cdot v_x = 10 kg \cdot 43,30 \frac{m}{s} = 433 Ns$

Die Kraftstöße beim Aufprall und beim Abstoß sind gleich, da die Verformung vollständig zurückgeht und die gesamte Bewegungsenergie vor dem Aufprall auch wieder in Bewegungsenergie für den Abstoß umgewandelt wird.

b) unelastische Verformung

Bei der unelastischen Verformung verformt sich der Körper in der Kompressionsphase und bildet sich in der Restitutionsphase nicht mehr zurück. Der Kraftstoß $\tilde{F}_R \triangle t$ während des Abstoßes wird zu Null und der Körper rutscht an der glatten Wand entlang herunter. Es gilt:

$F_K \triangle t = -mv_{x_0}$

$F_R \triangle t = m \cdot v_x = 0$


Und daraus:

$mv_x = 0$   $\rightarrow \; v_x = 0$

Es existiert demnach keine Endgeschwindigkeit in $x$-Richtung und damit ist die Endgeschwindigkeit:

Methode

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$v = \sqrt{v_x^2 + v_z^2} = = \sqrt{0^2 + (-25 )^2} = v_z = -25 \frac{m}{s}$

Das Minuszeichen ergibt sich, da der Massenpunkt entgegen der positiven $z$-Achse die Wand nach unten rutscht.

Für den Winkel $\alpha$ ergibt sich demnach $\alpha = 90°$:

$v_x = v \cos (\alpha)$

Methode

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$\alpha = \cos^{-1} (0) = 90°$.


Für die Kompressionsphase ergibt sich der Kraftstoß:

Methode

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$F_K \triangle t = -mv_{x_0} = -10 kg \cdot -50 \frac{m}{s}\cos (30°) = 433 Ns$.


Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist gleich null:

Methode

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$F_R \triangle t = 0$

(c) teil-elastische Verformung

Bei der teilelastischen Verformung wird nur ein Teil der Bewegungsenergie (kinetische Energie) in innere Energie umgewandelt. Das bedeutet, dass der andere Teil wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Der Körper verformt sich und bildet sich also teilweise wieder zurück. Dieser Teil führt dann dazu, dass sich der Körper an der Wand abstößt, allerdings ist $F_K \triangle t > F_R \triangle t $.

Es gilt:

$\tilde{F}_R \triangle t = e \tilde{F}_K \triangle t$     mit $e = 0,5$

Einsetzen von:

$F_K \triangle t= -mv_{x_0}$

$F_R \triangle t = m \cdot v_x $

Ergibt:

$m \cdot v_x = e \cdot -mv_{x_0}$

Einsetzen der Werte:

$m \cdot v_x = -0,5 \cdot m \cdot -50 \frac{m}{s}\cos (30°)$     |:m

Methode

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$v_x =  -0,5 \cdot -50 \frac{m}{s}\cos (30°) = 21,65 \frac{m}{s}$


Es ergibt sich demnach eine Endgeschwindigkeit $v$ von:

Methode

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$v = \sqrt{v_x^2 + v_z^2} = \sqrt{21,65^2 + (-25)^2} = 33,07 \frac{m}{s}$

Da nur ein Teil der Bewegungsenergie wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird und der andere Teil für die Verformung aufgewendet wird, ist die Endgeschwindigkeit $v$ kleiner als die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$.

Der Winkel $\alpha$ kann bestimmt werden durch:

$v_x = v \cos (\alpha)$

Methode

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$\alpha = \cos^{-1} (\frac{v_x}{v}) =  \cos^{-1} (\frac{21,65}{33,07}) = 49,11°$.

Der Winkel $\alpha$ ist größer als der Winkel $\alpha_0$.


Der Kraftstoß in der Kompressionsphase ist:

Methode

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$F_K \triangle t = -mv_{x_0} = -10 kg \cdot -50 \frac{m}{s}\cos (30°) = 433 Ns$.


Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist:

Methode

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$F_R \triangle t = eF_K \triangle t = 0,5 \cdot 433N = 216,5 Ns$

Es ist deutlich zu erkennen, dass der Kraftstoß während des Aufpralls größer ist als der Kraftstoß während des Abstoß's. Grund dafür ist, dass nur ein Teil der Bewegungsenergie auch wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Der andere Teil wird in innere Energie umgewandelt und führt dazu, dass sich der Körper verformt.