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Handelt es sich um einen elastischen Stoß, so kehren die am Stoß beteiligten Körper wieder in ihren ursprünglichen Zustand zurück. Die Deformation während des Stoßes wird also vollständig zurückgebildet und die am Stoß beteiligten Körper bleiben als Einzelkörper bestehen.
Beispiel
Treffen zum Beispiel zwei Fußbälle aufeinander, so handelt es sich um einen elastischen Stoß, weil beide Fußbälle nach dem Stoß wieder ihre ursprüngliche Form annehmen.
Wenn wir wieder von zwei Körpern ausgehen, so gilt auch hier wieder der Impulserhaltungssatz: Die Summe der Impulse beider Körper vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse beider Körper nach dem Stoß.
Methode
mit
Die Geschwindigkeiten der beiden Körper sind vor und nach dem Stoß zu unterscheiden. Die Massen vor und nach dem Stoß verändern sich beim elastischen Stoß hingegen nicht.
Merke
Beim elastischen Stoß bleibt die kinetische Energie der beteiligten Körper als kinetische Energie erhalten.
Die obigen Gleichungen sind für zwei am Stoß beteiligten Körper in vektorieller Form beschrieben worden. Für den Spezialfall, dass sich zwei Körper gradlinig aufeinander zu bewegen gilt dann:
Methode
Energieerhaltungssatz beim Stoß
Wir betrachten nun zwei elastische Körper, die sich gradlinig aufeinander zubewegen und zusammenstoßen. Wir können nun auch den Energieerhaltungssatz heranziehen, um den Stoßprozess zu beschreiben. Hierzu wird die kinetische Energie verwendet, weil die beiden Körper sich horizontal annähern (also keine Änderung der potentiellen Energie vorliegt) und beide eine bestimmte Anfangsgeschwindigkeit aufweisen. Die kinetische Energie eines Körpers wird berechnet durch:
Nach dem Energieerhaltungsatz gilt, dass Energie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt:
Methode
Wir haben nun also auf der linken Seite des Gleichheitszeichens die Summe aus der kinetischen Energie vom Körper 1 und vom Körper 2. Diese Summe muss gleich der Summe der kinetischen Energie nach dem Stoß sein. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also die Summe der kinetischen Energien beider Körper nach dem Stoß beschrieben.
Betrachten wir nun beide Gleichungen, also einmal den obigen Impulserhaltungssatz und einmal den Energieerhaltungssatz.
(1)
(2)
Nach einigen Umformungen erhalten wir dann die Endgeschwindigkeiten:
Methode
Merke
Wichtig bei diesen Formelen ist, dass
Anwendungsbeispiel: Elastischer Stoß
Beispiel
Ein Klotz mit der Masse
In welchem Abstand voneinander bleiben die beiden Klötze liegen, wenn der Reibungskoeffizient für beide Klötze
1. Betrachtung der Energie
Wir betrachten zunächst die Feder und den 1. Klotz. Die Feder ist gespannt, weist also eine Spannenergie auf von:
Methode
Einsetzen der Werte:
Die Feder beginnt nun den Klotz wegzuschleudern. Die Feder überträgt dabei die Spannenergie auf den Klotz und wandelt diese in kinetische Energie um:
Wir müssen hier aber noch zusätzlich die Reibung zwischen Klotz und Ebene berücksichtigen. Der Klotz gleitet 6m über die Ebene bis dieser den 2. Klotz trifft. Für diese 6 m muss also die Reibungskraft von der kinetischen Energie abgezogen werden, weil durch die Reibung der Körper abgebremst wird und damit die kinetische Energie sinkt. Die Reibungsenergie wird wie folgt berechnet:
Methode
Dabei ist
2. Reibungskraft bestimmen
Die Reibungskraft können wir bestimmen, indem wir den Klotz freischneiden und alle Kräfte die auf den Klotz wirken abtragen:
Dabei ist
Wir stellen als nächstes das Newtonsche Grundgesetz in Komponentendarstellung auf:
Dabei ist
Die Reibungskraft ist definiert zu:
Da
Dabei ist
Wir können nun die Reibungskraft bestimmen:
Die Reibungsenergie beträgt dann:
Das bedeutet, dass 88,32 J der kinetischen Energie in Reibungsenergie umgewandelt werden.
Wir interessieren uns für die kinetische Energie kurz vor dem Stoß mit dem 2. Klotz, also nach dem Weg von 6m. Dazu müssen wir als nächstes die Reibungsenergie von der gesamten kinetischen Energie abziehen:
Die kinetische Energie in Höhe von 136,68 J weist der 1. Klotz unmittelbar vor dem Zusammenstoß mit dem 2. Klotz auf.
Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen
Wir benötigen als nächstes die Anfangsgeschwindigkeit des 1. und 2. Klotzes um die Endgeschwindigkeiten beider Klötze bestimmen zu können.
Die Anfangsgeschwindigkeit des 1. Klotzes kann aus der kinetischen Energie unmittelbar vor dem Stoß bestimmt werden:
Auflösen nach
Die Anfangsgeschwindigkeit des 2. Klotzes ist
Endgeschwindigkeiten bestimmen
Die Endgeschwindigkeiten können nun anhand der obigen Formeln bestimmt werden:
Einsetzen der Werte:
Der Klotz 1 weist eine negative Geschwindigkeit auf. Das bedeutet, dass sich der Klotz entgegen der angenommenen Richtung bewegt. Der Klotz hat sich nach rechts bewegt (vor dem Stoß) und die Anfangsgeschwindigkeit wurde positiv in die Gleichung eingetragen, also sind wir von einer Bewegung nach rechts ausgegangen. Da nun eine negative Geschwindigkeit resultiert, bewegt sich der Klotz nach dem Stoß nach links. Der 2. Klotz wird durch den Zusammenstoß nach rechts gestoßen.
Wegdifferenz bestimmen
Wir wollen als nächstes herausfinden in welchem Abstand beide Klötze voneinander zum Stehen kommen. Aufgrund der Reibung der Klötze mit dem Boden, werden beide irgendwann bis zum Stillstand gebremst. Auch hier gilt wieder die Reibungsenergie zu bestimmen:
Die Reibungskraft für den 1. Klotz haben wir bereits bestimmt und es ergibt sich eine Reibungsenergie:
Methode
Wir benötigen noch die Reibungskraft des 2. Klotzes. Auch dieser wird wieder freigeschnitten. Aus dem Newtonschen Grundgesetz in
Die Reibungsenergie des 2. Klotzes beträgt also:
Methode
Die beiden Klötzen weisen nach dem Stoß die Endgeschwindigkeiten
Dieses mal wird die gesamte kinetische Energie in Reibungsenergie umgewandelt, weil die Klötze bis zum Stillstand gebremst werden:
Einsetzen in die Reibunsgenergie:
Und auflösen nach
Der Klotz 1 bewegt sich also nach dem Stoß 0,58 m nach links, der Klotz 2 nach dem Stoß 5,22 m nach rechts. Dann bleiben beiden liegen. Der Abstand beider Klötze beträgt demnach:
Anwendungsbeispiel: Zentraler elastischer Stoß
Beispiel
Wir betrachten zwei Waggons einer Modelleisenbahn. Der erste Waggon mit der Masse
Wir berechnen nun die Geschwindigkeit der beiden Waggons nach dem Stoß. Außerdem ermitteln wir, in welche Richtung sich die Waggons nach dem Zusammenstoß bewegen.
Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass der zweite Waggon sich vor dem Stoß nicht bewegt, d.h. seine Geschwindigkeit
Wir können also die Formeln für die Endgeschwindigkeit beider Körper anwenden, wobei
Wir nehmen die Geschwindigkeit nach rechts gerichtet positiv an. Deswegen wird
Der Waggon 2 hingegen bewegt sich nach dem Stoß nach rechts in positive Richtung.
Wie man auf die obigen Geschwindigkeiten ohne die Formel zu kennen gelangt, wird im Nachfolgenden ausführlich erläutert:
Wir beginnen mit dem Impulssatz:
Wir nehmen darüber hinaus an, dass keinerlei Reibungskräfte auf die Waggons wirken. Ihre Gesamtenergie bleibt somit konstant. Wir können also den Energieerhaltungssatz anwenden. Da sich beide Waggons auf einer horizontalen Ebene befinden, betrachten wir ausschließlich die kinetische Energie (
(1) nach
(3) in (2) einsetzen
Auflösen der Klammer:
Daraus ergibt sich:
Der zweite Waggon bewegt sich nach dem Zusammenstoß mit der Geschwindigkeit
Nun ermitteln die Geschwindigkeit
Hierzu setzen wir
Anhand der negativen Geschwindigkeit des ersten Waggons erkennen wir, dass dieser sich nach dem Zusammenstoß in die Gegenrichtung bewegt.
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