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Das Superpositionsprinzip, oder auch Überlagerungsmethode genannt, ist eine Methode, die es erlaubt einen komplizierten Biegefall in mehrere einfache Biegefälle, deren Lösungen bekannt oder schnell ermittelbar sind, zu zerlegen. Abschließend addiert man die Einzellösungen und erhält somit die Lösung für den komplizierten Biegefall.
Das folgende Beispiel soll dieses Verfahren näher erläutern:
In der obigen Abbildung liegt ein Balken vor, der auf einem Los- und Festlager gestützt wird. Auf den Balken wirken zwei Einzelkräfte und eine Streckenlast. Man beginnt nun die Kräfte nacheinander zu bestimmen oder ggf. aus einer Tabelle abzulesen. In diesem Beispiel bestimmt man zuerst die Einzellast, dann die Streckenlast und anschließend die verbleibende Einzellast. Die Ergebnisse aller drei Berechnungen fasst man abschließend zu einer Lösung zusammen. In diesem Beispiel wäre die Lösung für die Gesamtdurchbiegung:
Für die Bestimmung der Einzellösungen verwendet man die bereits bekannten Methoden aus den vorangegangenen Abschnitten.
Beispiel 1: Überlagerung
In der obigen Abbildung ist ein fest eingespannter Balken zu sehen, an welchem die äußere Belastung
Aus der Tabelle in Abschnitt Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen kann man die Gleichung für die Biegelinie für einen fest eingespannten Balken mit Belastung
Die Belastung für ein Moment auf einem eingespannten Balken ist auch in der Tabelle zu finden:
Die Addition von beiden führt dann zu:
Den Neigungswinkel erhält man durch die 1. Ableitung von
Beispiel 2: Überlagerung
Gegeben sei der obige Balken mit der Kraft
Hier gilt allerdings
Für die Absenkung dieses ersten Teilbalkens am Balkenende muss
Methode
Die Neigung des Querschnitts ergibt sich aus der 1. Ableitung:
Am Balkenende des Teilbalkens ist die Neigung (
Methode
Den zweiten Balken kann man nun mittels des Winkels
Einsetzen von
Die gesamte Verformung ergibt sich aus:
Methode
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