Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll ausführlich gezeigt werden, dass die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich sind.
Ortsveränderliche Spannungen
In Bezug auf das Gleichgewicht im ebenen Spannungszustand gilt für Scheiben, dass die Spannungen ortsveränderlich sind. Formal werden die Spannungen zu:
Methode
Ortsveränderliche Spannungen
Man geht nun davon aus, dass die Spannungskomponenten an gegenüberliegenden Kanten nicht mehr gleich sind, sondern sich um kleine differentielle Zuwächse ändern.
Die Zuwächse können mit Hilfe einer differenzierbaren Taylor-Reihe bestimmt werden (nach dem linearen Glied wird diese abgebrochen):
Gleiches gilt für die Spannungskomponenten:
Zugeordnete Schubspannungen
Gegenstand der Betrachtung sei ein kleines Teilchen aus der Scheibe mit einer Kantenlänge
Es muss in der obigen Grafik beachtet werden, dass die Spannungen auf eine Fläche wirken. Bei der obigen Scheibe mit der Dicke 1, muss man sich die Scheibe dreidimensional vorstellen, wobei die Dicke die
Es wird als nächstes das Momentengleichgewicht aufgestellt. Der Bezugspunkt liegt dabei in der Mitte (schwarzer Punkt in der Grafik). Die Wirkungslinien der Normalspannungen
mit
Aufgelöst ergibt dies:
Methode
Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich das Gesetz der zugeordneten Schubspannungen. Das bedeutet also, das diejenigen Schubspannungen mit einem vertauschten Indexpaar identisch sind. Die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen sind demnach gleich. Diese Schubspannungen werden auch als zugeordnete Schubspannungen bezeichnet. Diese zugeordneten Schubspannungen zeigen immer beide auf eine gemeinsame Kante hin oder von einer Kante weg.
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