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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)

Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)

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Im vorherigen Abschnitt wurden die Spannungen im Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel  wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel .

Spannungen beim senkrechten Schnitt

Schnittfläche bei Schnitt ohne und mit Winkel
Schnittfläche bei Schnitt ohne und mit Winkel

 

Die Berechnung erfolgt in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Kosinus:

In der obigen Grafik ist die Ankathete und die Hypotenuse . Aufgelöst nach ergibt sich:

 

Diese setzt man nun in die Gleichungen für Normal- und Schubspannungen ein:




Ersetzen von durch  (= Normalspannung in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse) erhält man vereinfacht:

Merke

Trigonometrische Beziehungen




Nach Anwendung der trigonometrischen Beziehungen erhält man:

als Normalspannung und

als Schubspannung. 

Merke

Die Größe der Spannungskräfte steht im direkten Zusammenhang mit der äußeren Kraft, der Querschnittsfläche und besonders mit dessen Schnittwinkel. 

Ist bekannt, so kann für jeden beliebigen Schnitt die Normalspannung und die Schubspannung berechnet werden. Die Normalspannung  besitzt unter einem Schnittwinkel von (senkrechter Schnitt) ihr Maximum und nimmt mit zunehmendem Winkel kontinuierlich ab, bis sie bei einem Schnittwinkel von 90° gänzlich verschwindet. Anders verhält es sich bei der Schubspannung , die ihr betragsmäßiges Maximum unter einem Schnittwinkel von besitzt.

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Anwendungsbeispiel: Schnitt mit Winkel

Gesuchte Querschnittsfläche
Gesuchte Querschnittsfläche

Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Gegenkathete und die Hypotenuse darstellt. kann dann bestimmt werden durch:

.

Merke

WICHTIG: Für die Berechnung der neuen Querschnittsfläche immer die Ausgangsfläche verwenden. Es ist nicht möglich den Radius zu verwenden und dann mittels Kosinus den "neuen" Radius zu berechnen, weil eine kreisförmige Querschnittsfläche nach dem Schnitt nicht mehr kreisförmig ist!


Die Normalspannung und Schubspannung beträgt demnach:

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