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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Dehnung (Stabelement)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Dehnung (Stabelement)

Wie bereits im vorherigen Abschnitt erwähnt, muss bei nicht konstanter Dehnung $\epsilon$ die örtliche Dehnung eines Stabes betrachtet werden. Dies tritt auf, wenn z.B. ein Stab eine veränderliche Querschnittsfläche $A$ aufweist oder aber beispielsweise Volumenkräfte längs der Stabachse auftreten. Ist dies der Fall, so wird nicht der gesamte Stab, sondern lediglich ein Stabelement betrachtet. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich die Dehnung in diesem Fall herleiten lässt.

Stabelement

Es soll im Folgenden ein Stabelement $dx$ eines Stabes betrachtet werden. Der Stab sei zunächst unbelastet. Wird nun dieses Stabelement separat betrachtet, so befindet sich die linke Querschnittsfläche des Stabelements an der Stelle $ x $ und die rechte Querschnittsfläche entsprechend an der Stelle $ x + dx $.

Stabelement dx
Stabelement dx

Kommt es nun zu einer elastischen Verformung, so kommt es zu Verschiebungen der Querschnittsflächen am linken und rechten Rand. Diese Verschiebungen erhalten die Bezeichnung $ u $ für die linke Seite und $ u + du $ für die rechte Seite.

Verschiebung der Querschnittflächen
Verschiebung der Querschnittsflächen

In der obigen Grafik verschiebt sich die linke Querschnittsfläche an der Stelle $x$ um $u$ nach rechts. Die rechte Querschnittsfläche an der Stelle $dx + x$ verschiebt sich um $u + du$ nach rechts.

Man kann nun ganz einfach die Länge des Stabelements im belasteten Zustand durch Addition bzw. Subtraktion bestimmen:

$= dx + u + du - u $,

$= dx + du$.

Das Stabelement vor der Belastung besaß die Länge $dx$. Nach der Belastung besitzt dieses die Länge $dx + du$. Das bedeutet also, dass der Anteil $du$ die Längenänderung angibt. Die örtliche Dehnung kann dann bestimmt werden, indem man die Längenänderung $du$ mit der Ursprungslänge des Stabelements $dx$ ins Verhältnis setzt:

Methode

$\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $                        Örtliche Dehnung

Die örtliche (auch: lokale) Dehnung $e(x)$ ist die Ableitung der Verschiebung $u(x)$ nach der Ortskoordinate $x$.

Stabverlängerung berechnen

Ist die örtliche Dehnung $e(x)$ gegeben, so kann daraus die Verlängerung des Stabelements über eine Integration berechnet werden:

$\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $     /Umstellen nach $du$

$du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden

$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$

Methode

$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$

Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden.

Spezialfall: Dehnung ist konstant

Ist die Dehnung konstant $\epsilon(x) = \epsilon_0 = const$, so kann das Integral aufgelöst werden und es ergibt sich:

Methode

$\triangle l = \epsilon_0 \cdot l$   Dehnung konstant

Stellt man die Gleichung nach $\epsilon_0$ um, so erhält man die bereits bekannte Gleichung für eine konstante Dehnung aus dem vorherigen Abschnitt:

Methode

$\epsilon_0 = \frac{\triangle l}{l}$

Merke

Die Verschiebung $u(x)$ und die Dehnung $\epsilon(x)$ stellen kinematische Größen dar. Kinematische Betrachtungen berücksichtigen nur die Verformungen am Körper, ohne die Ursachen der Verformungen (Krafteinwirkung) zu betrachten.