Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab

In diesem Abschnitt werden nochmals alle bereits vorgestellten Gleichungen für den Stab aufgeführt.

Merke

Die Anwendung der hier aufgestellten Gleichungen für den Stab werden in den folgenden Abschnitten mit Hilfe von Übungsbeispielen aufgezeigt.

Bestimmung der Normalspannung und Dehnung

Hat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung bestimmt werden:

Methode

.       Normalspannung

Mithilfe der ermittelten Normalspannung und des Elastizitätsmoduls ist es dann möglich die Dehnung zu bestimmen:

Methode

     Dehnung

mit

:

 

Bestimmung der Stabverlängerung

Die Stabverlängerung wird dann berechnet, indem die Stabenden bei und bei betrachtet werden:

Methode

      Stabverlängerung


Man kann die Stabverlängerung auch mittels des Elastizitätsgesetzes des Stabes (vorheriger Abschnitt) ausdrücken. Es gilt und außerdem das Elastizitätsgesetz mit .

Methode

 

Sonderfall: Stabverlängerung

Handelt es sich um einen Stab, welcher nur mit einer Kraft belastet wird (z.B. Zugstab), einen konstanten Querschnitt besitzt (und damit eine konstante Dehnsteifigkeit ) und eine konstante Temperaturänderung aufweist, so kann man die Längenänderung auch berechnen durch:

Methode

Bestimmung der Verschiebung

Mittels der im vorherigen Abschnitt berechneten Differentialgleichung des Stabes ist es möglich die Verschiebung zu bestimmen:

Methode

 

Hat man die Verschiebung aus dieser Differentialgleichung bestimmt, so kann man auch die Stabverlängerung daraus ermitteln, indem man die Verschiebung an den Stabenden betrachtet:



Die Normalkraft bestimmt sich bei dieser Vorgehensweise zu:

Methode

Sonderfall: Differentialgleichung

Stellt sich heraus, dass sowohl und , so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:

Methode

Diese Differentialgleichung lässt sich dann durch zweimaliges integrieren lösen. Auch hier gilt, dass die Stabverlängerung durch Subtraktion der Verschiebung an den Stabenden bestimmt werden kann.

In diesem Fall ist die Normalkraft:

Methode

Sonderfall: Keine Linienkraft

Ist konstant und ebenfalls konstant, so vereinfacht sich die Differentialgleichung wie oben gezeigt zu:

.

Ist nun aber in der Aufgabenstellung keine Linienkraft gegeben, also , dann gilt:

Methode

.

Das wiederum bedeutet, dass die Normalkraft konstant sein muss:

Methode

Die Normalkraft kann aus den Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab bestimmt werden. Die Verschiebung kann dann bestimmt werden durch:

Methode

.

Da konstant ist gilt:

Methode

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