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In statischen Berechnungen von Seilkräften auf Rollen wird oft vernachlässigt, dass Momente auftreten können. Zudem werden Reibung zwischen Rolle und Seil in den Berechnungen häufig vernachlässigt, damit werden die Zugkräfte lediglich umgelenkt (Seilkräfte an beiden Seiten gleich groß). Wird die Reibung zwischen Rolle und Seil hingegen berüccksichtigt, so kann eine der beiden Seilkräfte geringer sein als die andere, ohne dass es zur Bewegung des Seils kommt.
Wieder unterscheidet man zwischen Haftreibung, die auftritt wenn das Seil die Rolle mitnimmt, und Gleitreibung, falls die Rolle unter dem Seil wegrutscht, bzw. umgekehrt. Formal bedeutet das:
Es wird zunächst die Seilreibungsformel nach Euler-Eytelwein hergeleitet. Danach erfolgt ein Beispiel zum Seil um einen Poller und zur einfachen Bandbremse.
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Herleitung der Seilreibungsformel (Euler-Eytelwein-Formel)
Beispiel
Um nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge
Aus diesen Werten lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen:
Da
Unter Vernachlässigung von Termen, die kleiner als von erster Ordnung sind (
Es ist nicht möglich aus den Gleichungen
Einsetzen der ermittelten Gleichungen ergibt:
Als nächstes integriert man über den gesamten Bereich, in dem das Seil in Berührung mit der Rolle steht (=
Die Haftbedingung für das Seil lautet (
Merke
Bei der obigen Gleichung handelt es sich um das Eulersche bzw. Eytelweinsche Seilhaftungsgesetz. Angenommen
Ist
Merke
Bemerkungen:
- Der Winkel
muss im Bogenmaß (z.B. für 180°) eingegeben werden. - Bei Überschreiten der maximalen Haftkraft setzt sich das Seil in Richtung der Seite mit der größeren Kraft in Bewegung.
- Für
bzw. bleibt das Seil in Ruhe.
Das Verhältnis von
Veranschaulichungsbeispiel
Beispiel
Wird ein Seil mit einem Haftungskoeffizienten von
Angenommen
Wie groß müsste dann
Daran sieht man, dass bei mehrfacher Umschlingung eines Seils eine kleine Kraft am einen Ende genügt, um eine große Kraft am anderen Ende im Gleichgewicht zu halten.
Schiffe werden oft mit Hilfe kleiner Haftreibung an Pollern am Steg befestigt.
Anwendungsbeispiel: Seil um Poller
Beispiel
In der obigen Grafik ist ein Seil zweimal um einen Poller gewickelt. Die Kraft
Bei Überschreitung der Kraft, setzt sich das Seil in Richtung des Schiffes in Bewegung. Es gilt also:
Die Zugkraft des Schiffes muss also unterhalb der maximalen Zugkraft liegen, damit sich das Seil nicht bewegt.
Eine zweimalige Drehung entspricht einem Winkel von
Das Schiff darf die Zugkraft von
Anwendungsbeispiel: Bandbremse
Beispiel
In der obigen Grafik ist eine Walze zu sehen. Auf diese Walze wirkt ein Drehmoment
a) im Uhrzeigersinn und
b) gegen den Uhrzeigersinn.
a) Drehung der Walze im Uhrzeigersinn
Zur Bestimmung der Seilkräfte und des Drehmoments muss die Walze von dem Hebel freigeschnitten werden:
Es wird zunächst die Drehung mit dem Uhrzeigersinn betrachtet. Dann wirkt ein rechtsdrehendes Moment
Um das rechtsdrehende Drehmoment zu berechnen, wird nur die Walze betrachtet. Es wird die Momentengleichgewichtsbedingung um das Lager
Merke
Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte
Merke
Um die Seilkraft
Einsetzen von
Einsetzen von
Es kann nun die Seilkraft
Als letztes kann nun das Drehmoment bestimmt werden, mit:
a) Drehung der Walze gegen den Uhrzeigersinn
Als nächstes soll das Drehmoment bestimmt werden, für die Drehung der Walze gegen den Uhrzeigersinn:
Das Vorgehen ist analog zu oben, nur dass jetzt ein linksdrehendes Moment
Merke
Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte
Merke
Um die Seilkraft
Einsetzen von
Einsetzen von
Berechnung von
Das Drehmoment beträgt dann:
In diesem Beispiel handelt es sich um die einfache Bandbremse. Diese eignet sich vor allem für den Rechtslauf (mit dem Uhrzeigersinn). Das wird auch an dem Moment sichtbar. Für den Rechtslauf ist dieses geringer.
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