Drehimpuls / Drehimpulssatz

In diesem Abschnitt wird der Drehimpuls und der Drehimpulssatz aufgezeigt. Es erfolgt ein ausführliches Beispiel zur Lösung von Aufgaben mittels des Drehimpulssatzes. 

Drehimpuls

Der Drehimpuls eines Massenpunktes in Bezug auf einen Bezugspunkt (hier: Koordinatenursprung) ist definiert als das Moment des Impulses des Massenpunktes bezogen auf diesen Punkt . Der Drehimpuls wird auch als Impulsmoment bezeichnet. In Vektorschreibweise wird dieser geschrieben zu:

Dabei ist das Kreuzprodukt. Der Drehimpuls steht senkrecht auf der Ebene, die vom Ortsvektor und vom Geschwindigkeitsvektor aufgespannt wird:

Es handelt sich hierbei also um den Drehimpuls um den Ursprung . Dabei stehen der Ortsvektor und der Impuls senkrecht zueinander.

Drehimpulssatz

Die Summe der Momente aller äußeren Kräfte auf den Massenpunkt um den Punkt sollen mit dem Drehimpuls in Beziehung gesetzt werden. Hierzu betrachtet man zunächst das Newtonsche Grundgesetz:

Für gilt dann:

Das Newtonsche Grundgesetz wird nun vektoriell (Kreuzprodukt) mit dem Ortsvektor multipliziert:

Dabei ist die Summe der Momente aller äußeren Kräfte auf den Massenpunkt um den Bezugspunkt .

Es gilt

und damit

Da ergibt sich:

Mit . Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt Null (Kreuzprodukt: ). Der erste Term der rechten Seite fällt also weg:

Wird das Moment , so ist der Drehimpuls konstant:

Betrachtet man nun die ,-Ebene, so kann man den Drehimpuls auch in Komponenten darstellen:

:

Sonderfall: Kreisbewegung

Im Sonderfall der Kreisbewegung ist der Drehimpuls (hier: kein Kreuzprodukt):

Es besteht wieder der Zusammenhang (mit und ):

Will man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich mit :

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

Und damit:

Beispiel: Drehimpuls und Beschleunigung

Es handelt sich hier um eine kreisförmige Rampe. Deswegen wird der Drehimpuls bestimmt durch:

Die Ableitung ist gleich der Summe der Momente die auf den Massenpunkt wirken:

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Das Freikörperbild zeigt die Kräfte, die an der Kiste angreifen. Dabei greift die Gewichtskraft an den Massenpunkt der Kiste an, sowie die Normalkraft , welche die Kiste in der Rampe hält und verhindert, dass dieser in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt. Da die Reibung vernachlässigt werden soll, tritt keine Reibungskraft auf. 

Die Beschleunigung kann nun bestimmt werden:

Die Summe der Momente  aller Kräfte, die an die Kiste angreifen für den Bezugspunkt sind zunächst zu bestimmen. Es existieren die beiden Kräfte und . Allerdings besitzt keinen Hebelarm, d.h. die Wirkungslinie von schneidet bereits den Bezugspunkt. Für die Momentenberechnung fällt also raus. hingegen besitzt den Hebelarm, welcher im obigen Freikörperbild rot markiert ist. Ein Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand der Kraft zum Bezugspunkt oder:

Die Kraft wird also solange parallel zu sich selbst verschoben (rote Linie), bis die Wirkungslinie der Kraft den Bezugspunkt schneidet. Mittels Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck kann man die rote Linie bestimmen. ist gegeben und ist gegeben. stellt die Hypotenuse dar, die rote Linie stellt die Gegenkathete dar:

Es ist also:

Es gilt :

Mit ergibt sich demnach:

Auflösen nach

.

Steht die Kiste in diesem Winkel , so ist die Beschleunigung bei .

Beispiel: Pendel

Zunächst wird das Freikörperbild gezeichnet. Es wird der Winkel mit positiver Drehrichtung eingeführt. Der Drehimpuls soll bezüglich des Punkes bestimmt werden.

Da es sich hierbei um eine Kreisbewegung des Pendels handelt, gilt:

Dabei ist :

Der Drehimpuls soll in Abhängigkeit von der Lage bestimmt werden. D.h. also in Abhängigkeit vom Winkel :

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

Es gilt:

Es werden nun zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug auf den Punkt bestimmt:

Mit ergibt sich:

Das Minuszeichen resultiert, weil die Gewichtskraft das Pendel entgegen der positiven Drehrichtung nach unten zieht.

Gleichsetzen von :

    / :m

    / :l²

Schlägt das Pendel nun um 30° aus, so ergibt sich die Winkelbeschleunigung zu:

Das negative Vorzeichen bei der Winkelbeschleunigung gibt an, dass sich mit jedem Pendelschlag die Winkelgeschwindigkeit verringert. Die hier angegebene Winkelbeschleunigung gilt nur für den Ausschlag des Pendels um 30° zur Vertikalen. Betrachtet man nun einen Winkel von 45°, so muss die Winkelbeschleunigung größer sein:

Bei einem Winkel unter 30° entsprechend geringer:

Alternativ kann man auch bei gegebener Winkelbeschleunigung den Winkel bestimmen:

Bei einer Winkelbeschleunigung von ergibt sich demnach der Winkel:

Beispiel: Konstaner Drehimpuls

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

(a) Winkelgeschwindigkeit bestimmen

Es existiert hier nur die Seilkraft in der betrachteten Ebene. Die Draufsicht auf die Kreisbahn ist hier von oben. Die Gewichtskraft wirkt nach unten, wird aber durch die Kreisbahn selber aufgehoben. Das bedeutet . Es muss also nur die Seilkraft betrachtet werden.

Es wird zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug zum Punkt betrachtet. Da die Seilkraft die einzige Kraft ist, die berücksichtigt werden muss und die Wirkungslinie dieser den Bezugspunkt bereits schneidet, existiert kein Hebelarm und damit ist:

.

Das wiederrum bedeutet, dass der Drehimpuls konstant ist:

   und damit    .

Was bedeutet das?

Es gilt für den Drehimpuls:

Mit :

Es wird nun zunächst der Drehimpuls bestimmt:

Und dann der Drehimpuls :

Da der Drehimpuls konstant ist gilt:

Auflösen nach :

Es muss als nächstes die Winkelgeschwindigkeit bestimmt werden. Diese kann aus der Drehzahl bestimmt werden. Die Kugel dreht sich 1.000 mal in einer Minute um die Kreisbahn. Das bedeutet bei einer Drehzahl wird in einer Minute ein Winkel von überstrichen. Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich dann in Sekunden:

Es können nun aller Werte eingesetzt werden, um zu bestimmen:

Die Winkelgeschwindigkeit ist geringer als . Grund dafür ist, dass das Seil länger ist und damit auch der Weg, den die Kugel für die Umrundung der Kreisbahn benötigt.

Die Drehzahl liegt nun bei:

(b) Seilkraft bestimmen

Es soll noch bestimmt werden, wie sich die Seilkraft ändert, d.h. also . Dazu benötigt man das Newtonsche Grundgesetz, um die Seilkraft zu bestimmen:

Damit bestimmt werden kann, muss gegeben sein. Es handelt sich hierbei um eine ebene Kreisbewegung (siehe Abschnitt: Sonderfall Kreisbewegung). Die Beschleunigung lässt sich hier ermitteln durch die beiden skalaren Komponenten:

Da es sich um eine konstante Winkelbeschleunigung handelt, fällt die Umfangsbeschleunigung weg (Ableitung von gleich Null):

Einsetzen:

Es gilt nun zu bestimmen durch:

Es wird nun in Abhängigkeit von bestimmt, indem nach aufgelöst und in eingesetzt wird:

Die Seilkraft ist also das 0,2963-Fache der Seilkraft . Beträgt nun z.B. die Masse , so ergeben sich die Kräfte:

S_1 = 0,3 S_0 = 3.248,96 N$

Berechnet man die Seilkraft direkt aus der Formel ergibt sich:

Die Seilkraft verringert sich also mit zunehmender Länge.