Schnittgrößen am Bogen

In diesem AbSchnitt soll die Bestimmung der Schnittgrößen an einem Bogen gezeigt werden. Dazu wird folgende Grafik betrachtet:

In der obigen Grafik ist ein Bogen gegeben mit dem Radius und der Kraft , die auf den Bogen wirkt.

Zunächst werden die Lagerreaktionen am noch ungeschnittenen Bogen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet:

Der erste Schnitt wird vor der einwirkenden Kraft gesetzt und der zweite Schnitt nach der einwirkenden Kraft. 

Schnitt 1 am Bogen

Der erste Schnitt wird im Bereich gesetzt. In diesem Beispiel wird der Schnitt willkürlich bei gesetzt. Zunächst folgt die Bestimmung der Querkraft und der Normalkraft. Diese sind nun nicht mehr vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.

Die Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven -Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen -Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften und , sieht wie folgt aus:

Der Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven -Achse liegt und die Querkraft auf der negativen -Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus:

Pfeil nach rechts oben (-Achse):

Pfeil nach links oben (-Achse):

Als nächstes wird das Biegemoment bestimmt. Hierzu müssen noch die Abstände von und zum Schnittpunkt berechnet werden.

In der obigen Grafik ist dargestellt, wie man die Abstände von und zum Schnittpunkt berechnen kann. Wenn man vom Schnittpunkt nach unten geht (gestrichelte rote Linie), dann trifft man die horizontale Linie, welche die Länge hat (das ist der Radius vom Mittelpunkt des Halbkreises zum Bogen hin). Dort wo man die horizontale Linie trifft (Schnittpunkt ), bis hin zum Mittelpunkt, ist die Länge (rote Linie). Für ist der Abstand vom Halbkreisbogen (links) bis zu diesem Schnittpunkt relevant. Dieser ist demnach (also die horizontale Linie abzüglich der roten Linie ergibt den Abstand für ). Der Abstand von zum Schnittpunkt ist .

Das Biegemoment berechnet sich durch das Momentengleichgewicht am Schnittpunkt:

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Da der Winkel beliebig einsetzbar ist im Bereich , ist der Verlauf für die Schnittgrößen in diesem Bereich durch Einsetzen der Winkel zu ermitteln. Das bedeutet, um zum Beispiel das Biegemoment für den Winkel 30° zu berechnen, bedient man sich der obigen Gleichung:

Analog verfährt man auch mit der Querkraft und der Normalkraft.

Schnitt 2 am Bogen

Es fehlt nun noch der zweite Bereich des Bogens mit . Der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass der Schnitt bei gesetzt werden soll (es ist egal, wo in dem vorgegebenen Bereich der Schnitt gesetzt wird, hier wird willkürlich der Winkel 50° gewählt).

Wie der Grafik zu entnehmen ist, müssen wir nun das rechte Schnittufer betrachten. Hier ist die Querkraft in Richtung der positiven -Achse gerichtet und die Normalkraft in Richtung der negativen -Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen werden wieder mithilfe der gestrichelten Hilfslinien und des Koordinatensystems aufgestellt:

Pfeil rechts oben (x-Achse) :

Pfeil links oben (y-Achse) :

Als nächstes folgt die Berechnung des Biegemoments. Hierzu muss wieder der Abstand von zum Bezugspunkt (hier: Schnitt) ermittelt werden. 

muss einen Abstand von zurücklegen, damit seine Wirkungslinie den Bezugspunkt (hier: Schnitt) schneidet.