Schnittgrößen: Streckenlast am Balken

Im vorherigen Abschnitt wurde bereits erwähnt, dass ein Zusammenhang zwischen Biegemoment und Querkraft besteht. Dieser Zusammenhang bezog sich jedoch nur auf Einzelkräfte. Im Folgenden soll der Zusammenhang für ein Biegemoment und eine Streckenlast hergestellt werden. 

Hierzu betrachte man die nachfolgende Abbildung:

Grafik a zeigt einen durch eine Streckenlast belasteten Balken, aus dem ein Element der infinitesimalen Länge herausgeschnitten wird. Grafik b zeigt nun das herausgeschnittene Element der infinitesimalen Länge . Die verteilte Last wird ersetzt durch eine Einzellast der Größe

und greift hier im Schwerpunkt des herausgeschnittenen Elementes an. An der betrachteten Schnittstelle (links) wirken sowohl Biegemoment , als auch die Querkraft . Betrachtet man nun die Schnittstelle (rechts), so ändern sich die Schnittgrößen um die infinitesimalen Werte und . 

Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen

Die aus der obigen Grafik b resultierenden Gleichgewichtsbedingungen haben die Form:

1.

Für die Momentengleichgewichtsbedingung wird der Bezugspunkt gewählt:

2. (Einzellast, die in der Mitte greift)

Aus der ersten Gleichung lässt sich erkennen, dass die Änderung der Querkraft durch die negative Streckenlast gegeben ist:

(a) .

Aus der zweiten Gleichung wird deutlich, dass die Ableitung des Biegemoments nach die Querkraft ergibt (dabei ist das Glied mit klein von höherer Ordnung und kann daher vernachlässigt werden).

(b)

Ableitung der Gleichung (b) und anschließendes Einsetzen in die Gleichung (a) ergibt:

Das bedeutet also, das zweimalige Ableiten des Biegemoments ergibt die negative vertikale Streckenlast .