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Wir betrachten in diesem Kurs Stabtragwerken, d.h. Tragwerke die aus eindimensionalen Strukturen (Stäben) bestehen. Um die Tragwerke mit ihrer Umgebund zu verbinden, benötigt man sogenannte Lager.
Merke
Lager sind Verbindungen zwischen einem Tragwerk und seiner Umgebung. Lager können die Bewegungsmöglichkeit eines Tragwerks verhindern oder einschränken.
Freiheitsgrade
Jedes ebene Tragwerk weist genau drei Bewegungsmöglichkeiten (=Freiheitsgrade) auf:
- die horizontale Verschiebung,
- die vertikale Verschiebung,
- die Drehung in der Ebene.
Ziel von Lagerungen ist es nun, diese drei Bewegungsmöglichkeiten (=Freiheitsgrade) einzuschränken oder sogar ganz zu unterbinden.
Wie viele Freiheitsgrade unterbunden werden, zeigt die Wertigkeit eines Lager auf. Wir unterscheiden
- einwertige Lager,
- zweiwertige Lager und
- dreiwertige Lager
voneinander. So unterdrückt ein zweiwertiges Lager zwei Freiheitsgrade, d.h. das Tragwerk weist an dieser Stelle nur noch eine Bewegungsmöglichkeit auf.
Merke
Die Wertigkeit der Lager gibt die Anzahl der eingeschränkten Bewegungsmöglichkeiten (=Freiheitsgrade) an.
Lagerreaktionen
Die Wertigkeit der Lager gibt uns zum einen an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten an einer bestimmten Stelle des Tragwerks unterbunden werden und zum anderen die Anzahl der dafür notwendigen Lagerreaktionen (=Lagerkräfte). Ein zweiwertiges Lager weist somit genau zwei Lagerreaktionen auf, um genau zwei Freiheitsgrade zu unterbinden.
Je nach Lagerart treten also entweder eine, zwei oder drei Lagerreaktionen auf. Wir unterscheiden grundsätzlich die folgenden drei Lagerarten voneinander:
Feste Einspannung
Die feste Einspannung ist ein dreiwertiges Lager, überträgt demnach drei Lagerreaktionen und unterbindet damit alle drei Freiheitsgrade. Das Tragwerk ist an dieser Stelle also weder horizontal und vertikal verschieblich noch erfolgt eine Drehung des dort eingespannten Stabes.
Die horziontale Lagerkraft verhindert die horizontale Verschiebung, die vertikale Lagerkraft verhindert die vertikale Verschiebung und das Moment verhindert die Drehung des Stabes. Der Stab ist im Punkt
Festlager
Das Festlager ist ein zweiwertiges Lager, überträgt demnach zwei Lagerreaktionen und unterbindet damit nur zwei von drei Freiheitsgraden. Das Tragwerk ist an dieser Stelle weder horizontal und vertikal verschieblich, jedoch ist eine Drehung im Punkt
In der obigen Grafik sind die drei Darstellungsmöglichkeiten eines Festlagers aufgezeigt. Häufig wird die mittlere Darstellungsform für das Festlager gewählt, also mit Gelenk, um aufzuzeigen, dass der Stab an dieser Stelle drehbar gelagert ist (= es werden keine Momente vom Lager übertragen). Die anderen beiden Darstellungsformen treten aber ebenfalls in der Literatur auf. Alle drei Darstellungsformen führen beim Abtragen der Lagerkräfte zu einer horizontalen
Loslager
Das Loslager ist ein einwertiges Lager, überträgt demnach eine Lagerreaktion und unterbindet damit nur eine von drei Freiheitsgraden. Je nach Anordnung des Loslagers unterbindet dieses eine Verschiebung senkrecht zu seiner Bewegungsmöglichkeit:
In a. sind zwei mögliche Darstellungsformen des Loslagers gegeben, welches sich durch den unteren Strich vom Festlager abgrenzt. Hier ist die zweite Darstellungsform mit dem Gelenk die Gängige. Das Loslager in a. ist horizontal verschieblich, demnach überträgt es (senkrecht zu seiner Verschiebung) eine vertikale Kraft
In b. ist das Loslager vertikal verschieblich, damit überträgt es eine horizontale Lagerkraft
Gleichgewichtsbedingungen
Lagerkräfte können aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. In der Ebene stehen drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:
Die Summen müssen gleich Null ergeben, damit sich das Tragwerk im Gleichgewicht befindet, d.h. ruht. Ist zum Beispiel die erste Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt, so bewegt sich der Körper in x-Richtung.
Beispiel: Berechnung von Lagerreaktionen
Beispiel
Gegeben sei das obige statisch bestimmte Tragwerk, welches durch die rechteckige Streckenlast sowie durch die Einzellast
Gegeben:
Wir beginnen damit das obige Tragwerk freizuschneiden:
In der obigen Grafik ist das Festlager mit zwei Lagerreaktionen
Die Resultierende der Streckenlast greift immer im Schwerpunkt der Fläche an. Wir haben hier eine rechteckige Streckenlast gegeben. Der Schwerpunkt eines Rechtecks liegt in der Mitte.
Als nächstes werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt, um die Auflagerreaktionen zu berechnen.
Horizontale Gleichgewichtsbedingung:
Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Lagerkraft
Vertikale Gleichgewichtsbedingung:
Hier sind zwei unbekannte gegeben. Wir betrachten zunächst die Momentengleichgewichtsbedingung und legen den Bezugspunkt entweder in Lager
Momentengleichgewichtsbedingung:
Wir wählen das Lager
Einfügen von
Danach kann die vertikale Gleichgewichtsbedingung angwendet werden, um
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