Inhaltsverzeichnis
Ein physikalisches Pendel ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel (Fadenpendel aus dem vorherigen Abschnitt) wird bei einem physikalischen Pendel die Größe und Form des Körpers mitberücksichtigt.
Ein beliebig drehbar gelagerter Körper führt dann harmonische Schwingungsbewegungen aus, wenn nur minimale Auslenkungen vorliegen und der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann.
Wir betrachten die obige Grafik und befinden uns in der
Bei der rücktreibenden Kraft
Methode
Diese greift im Schwerpunkt
Methode
Es muss unbedingt darauf geachtet werden, dass
Handelt es sich um eine minimale Auslenkung, d.h. also der Winkel ist hinreichend klein, so gilt:
Und damit:
Beispiel
Zum besseren Verständnis kannst du ganz einfach einen sehr kleinen Winkel in die Sinusfunktion einsetzen, z.B. 0,5°. Wichtig: Die Eingabe kann in Grad oder Radiant erfolgen (je nach Einstellung des Taschenrechners), die Ausgabe erfolgt immer in Radiant. Das bedeutet also, dass du den Winkel 0,5° in den Taschenrechner eingibst, aber das Ergebnis in Radiant erhälst:
Wir müssen die 0,00873 Rad nun also in Grad umrechnen, um herauszufinden, ob der Winkel von 0,5° gegeben ist:
Dreisatz anwenden:
Demnach gilt bei sehr kleinen Winkeln, dass der Sinus nicht berücksichtigt werden muss, weil der Sinus von 0,5° gleich 0,5° ergibt.
Wir können nun also schreiben:
Das Drehmoment weist zudem den folgenden Zusammenhang auf:
Methode
mit
Die Winkelbeschleunigung ist die zweite Ableitung des Ausgangswinkels
Beide Gleichungen werden nun gleichgesetzt:
Teilen durch das Trägheitsmoment führt auf die Differentialgleichung 2. Ordnung:
Methode
Wir haben hier nun wieder eine Differentialgleichung 2. Ordnung gegeben, für die gilt, dass das Ergebnis der zweiten Ableitung des Winkels nach der Zeit
Wir können hier die Sinus- oder Cosinusfunktion verwenden:
Dabei ist
Die Differentialgleichung für die linke Seite einsetzen:
Alles auf eine Seite bringen:
Winkel ausklammern:
Die obige Gleichung ist erfüllt, wenn
Auflösen nach der Eigenfrequenz
Methode
Die Eigenfrequenz gibt an, welche Winkelgeschwindigkeit
Die Eigenfrequenz
Trägheitsmoment
In dem obigen Fall wurde das Trägheitsmoment
Methode
mit
In unserem Beispiel ist der Abstand vom Schwerpunkt
Methode
mit
Das Trägheitsmoment
Sollte das Trägheitsmoment
Methode
mit
Mit dieser Gleichung ist es möglich das Trägheitsmoment
Schwingungsdauer
Setzen wir nun in die Eigenfrequenz
ein, dann erhalten wir:
Aufgelöst nach der Schwingungsdauer
Methode
Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.
Frequenz
Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer:
Auflösen nach
Methode
Die Schwingungsfrequenz
Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper aus seiner Ruhelage angestoßen wird. Dann ist die Sinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Cosinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn die Bewegung des Körpers nicht in der Ruhelage beginnt. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss unterschieden werden zwischen Sinus und Cosinus.
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Schwingungsgleichung: Federpendel
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Schwingungsgleichung: Federpendel (Schwingungen) aus unserem Online-Kurs Physik interessant.
-
Beispiel: Druckkräfte auf Behälterwände
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Beispiel: Druckkräfte auf Behälterwände (Hydrostatik) aus unserem Online-Kurs Strömungslehre interessant.