Arbeitssatz

Es wird zunächst wieder das Newtonsche Grundgesetz aufgeführt:

Hierbei ist . Die Beschleunigung ist also die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit . Einsetzen ergibt dann die Schreibweise:

Diese Gleichung wird nun mit multipliziert:

Es gilt und damit . Einsetzen in die rechte Seite der Gleichung ergibt:

Kürzen der rechten Seite:

Es wird nun die Integration zwischen zwei Bahnpunkten nach durchgeführt:

Dabei stellen die beiden Terme auf der rechten Seite die kinetische Energie dar:

Auf die obige Gleichung angwendet ergibt sich somit:

Die linke Seite  ist die Arbeit , welche die resultierende Kraft zwischen den zwei Bahnpunkten verrichtet. Wie bereits in den vorherigen Abschnitten erlernt, setzt sich die Kraft aus allen Kräften zusammen, welche an den Massenpunkt angreifen. Hierbei handelt es sich um eingeprägte Kräfte (z.B. Gewichtskraft, Reibungskraft) und um Zwangskräfte . Die Zwangskräfte stehen immer senkrecht (im 90°-Winkel) zur Bahn. Die Zwangskräfte verrichten somit keine Arbeit und sind bei der Berechnung nicht zu berücksichtigen:

Man kann also sagen, dass bei der Berechnung der Arbeit nur diejenigen Kräfte berücksichtigt werden dürfen, welche parallel zum betrachteten Weg liegen.

Es gilt also, dass die Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energien zwischen zwei Bahnpunkten entspricht. Diesen Zusammenhang nennt man Arbeitssatz:

Die Einheit von Arbeit und kinetischer Energie ist Joule () oder Newtonmeter ():

Beispiel: Kiste auf schiefer Ebene

Es wird zunächst das Freikörperbild gezeichnet:

(a) Arbeit bestimmen

Es soll zunächst die Arbeit , welche die Kräfte auf dem Weg bis verrichten berechnet werden. Es werden nur die eingeprägten Kräfte berücksichtigt. Dabei sind alle Kräfte die senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Bahn (hier: schiefe Ebene) stehen Zwangskräfte, welche nicht bei der Berechnung berücksichtigt werden. Es werden demnach die Normalkraft und die Komponente der Gewichtskraft nicht berücksichtigt. Berücksichtigt werden also die Reibungskraft und die Komponente der Gewichtskraft :

Statt gilt hier :

Das negative Vorzeichen vor der Reibungskraft rührt daher, dass diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Sie zeigt also in negative -Richtung.

Bevor nun die Arbeit bestimmt werden kann, muss zunächst die Reibungskraft bestimmt werden. Zur Bestimmung der Normalkraft wird das Newtonsche Grundgesetz in -Richtung angewandt:

Dabei sind die Summe aller in -Richtung zeigenden Kräfte. Die Kraft zeigt bereits in -Richtung und wird direkt übernommen. Die Kraft besitzt eine Komponente in -Richtung und in -Richtung. Es wird die Komponente in -Richtung berücksichtigt:

Es gilt , da keine Bewegung in -Richtung stattfindet:

Und damit:

Die Reibungkraft ergibt sich dann zu:

Es wird nun die Arbeit bestimmt:

Einsetzen aller Werte:

(b) Geschwindigkeit bestimmen

Die Geschwindigkeit kann mittels des Arbeitssatzes bestimmt werden, Der Arbeitssatz besagt:

Einsetzen der Werte (mit ):

Auflösen nach :

Alternativ: Newtonsche Gesetz

Als Alternative zur Bestimmung der Geschwindigkeit kann auch das Newtonsche Gesetz herangezogen werden:

Hierbei ist das Newtonsche Gesetz in Komponenten zu zerlegen. Die -Richtung sieht dann wie folgt aus:

Es können nun alle Kräfte in -Richtung berücksichtigt werden:

In -Richtung sieht das Newtonsche Gesetz dann wie folgt aus:

Da keine Bewegung in -Richtung stattfindet ist :

Die Kräfte in -Richtung sind:

Es kann nun eingesetzt werden in :

Für :

Durch teilen:

Es gilt wieder . Es soll hier aber nicht die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, sondern in Abhängigkeit vom Weg bestimmt werden. Deswegen wird dieser Term mit multipliziert:

Umschreiben:

Hierbei ist :

Es kann nun nach aufgelöst und integiert werden:

Einsetzen von :

Integration:

Einsetzen aller Werte:

Auflösen nach :