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Technische Mechanik 3: Dynamik

Sonderfall: Kreisbewegung

In diesem Abschnitt wird die ebene Bewegung in Polarkoordinaten am Sonderfall der Kreisbewegung aufgezeigt.

Der Sonderfall einer ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung. Bei dieser ist $r =const$ und der Basisvektor $e_{\varphi}$ besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$. 

Ebene Bewegung Polarkoordinaten Kreisbewegung

In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist derjenige Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und dem Basisvektor $e_r$. Vergleicht man nun den zweiten Kreis, in welchem der Geschwindigkeitsvektor (tangential zur Bahnkurve) abgetragen ist, so sieht man deutlich, dass der Basisvektor $e_{\varphi}$ genau die selbe Richtung aufweist wie der Geschwindigkeitsvektor. Der Geschwindigkeitsvektor besitzt bei der Kreisbewegung nur eine skalare Komponente, die Tangentialbeschleunigung $a_{\varphi}$, welche tangential zur Kreisbahn liegt (siehe unten). Der dritte Kreis zeigt die beiden Komponenten des Beschleunigungsvektors. Es existiert eine Normalbeschleunigung $a_r$, welche auf das Zentrum zeigt und die Tangentialbeschleunigung $a_{\varphi}$, welche tangential zur Bahn liegt. Im Folgenden werden diese Komponenten aufgezeigt.

Der Ortsvektor $\vec{r}$ lautet in Polarkoordinaten:

$\vec{r} = r \cdot e_r$

Geschwindigkeitsvektor

Die erste Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$ ergibt den Geschwindigkeitsvektor.

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} =  \dot{r} e_r + r \dot{e_r}$


Da $r = const$ fällt der Term mit $\dot{r}$ weg (Ableitung einer Konstanten ergibt Null):

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} =  r \dot{e_r}$

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass $\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_{\varphi}$. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich also zu: 

Methode

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$\vec{v} = \dot{\vec{r}} =  r \dot{\varphi} e_{\varphi}$.


Die skalare Komponente ist für die Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung die

Methode

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Umfangsgeschwindigkeit:   $v_{\varphi} =r \dot{\varphi}$    (Tangential zur Kreisbahn)

Für die Geschwindigkeit existiert demnach bei einer Kreisbewegung nur eine skalare Komponente. Das bedeutet, dass $\vec{v} = \vec{v_{\varphi}}$. Der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ liegt immer tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt.

Beschleunigungsvektor

Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch die zweite Ableitung des Ortsvektors bzw. durch die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors:

$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}} = \dot{r} \dot{\varphi} e_{\varphi} + r \ddot{\varphi} e_{\varphi} + r \dot{\varphi} \dot{e_{\varphi}}$

Mit $r = const$ ergibt sich:

$\vec{a} =  r \ddot{\varphi} e_{\varphi} + r \dot{\varphi} \dot{e_{\varphi}}$


Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass:

$\dot{e_{\varphi}} = -\dot{\varphi} e_r$

Einsetzen ergibt:

$\vec{a} =  r \ddot{\varphi} e_{\varphi} - r \dot{\varphi}^2  e_r$


Die beiden skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors bei einer Kreisbewegung sind die

Methode

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Normalbeschleunigung    $a_r = - r \dot{\varphi}^2$   (Senkrecht zur Kreisbahn)

Tangentialbeschleunigung   $a_{\varphi} = r \ddot{\varphi}$    (Tangential zur Kreisbahn)

Das Minuszeichen bei der Normalbeschleunigung bedeutet, dass diese Komponente nach innen gerichtet ist. D.h., sie zeigt auf den Mittelpunkt des Kreises (siehe obige Grafik). Diese Komponente wird deswegen auch Zentripetalbeschleunigung genannt.

Die gesamte skalare Beschleunigung ergibt sich dann zu:

Methode

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$a = \sqrt{a_r^2 + a_{\varphi^2}}$

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die erste Ableitung des Winkels $\varphi$ nach der Zeit $t$ ergibt die Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Die Winkelgeschwindigkeit ist also die Änderung des Winkels innerhalb einer bestimmten Zeit. Ist diese konstant, so ergibt sich keine Änderung des Winkels mit der Zeit.

Die zweite Ableitung des Winkels $\varphi$ ergibt die Winkelbeschleunigung $\dot{\omega}$ (manchmal auch: $\dot{\omega} = \alpha$). Die Winkelbeschleunging ist also die Änderung der Winkelgeschwindigkeit innerhalb einer bestimmten Zeit. Ist die Winkelbeschleungiung konstant, so ändert sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit nicht.

Wird nun für die obigen Gleichung $\dot{\varphi} = \omega$ (Winkelgeschwindigkeit) und $\ddot{\varphi} = \dot{\omega}$ (Winkelbeschleunigung) eingesetzt, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:

Methode

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Geschwindigkeitsvektor

$\vec{v} = r \omega e_{\varphi}$

Skalare Komponente:

$v_{\varphi} =r \omega$  

mit

$\omega = \dot{\varphi}$


Die gesamte Geschwindigkeit als Skalar lässt sich dann bestimmen zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_{\varphi} = r \omega$                   Bahngeschwindigkeit



Für den Beschleunigungsvektor ergibt sich dann:

Methode

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Beschleunigungsvektor

$\vec{a} =  r \dot{\omega} e_{\varphi} - r \omega^2  e_r$

Skalare Komponenten:

Normalbeschleunigung    $a_r = - r \omega^2$   (Senkrecht zur Kreisbahn)

Tangentialbeschleunigung   $a_{\varphi} = r \dot{\omega}$    (Tangential zur Kreisbahn)

Merke

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Die Normal- bzw. Zentripetalbeschleunigung gibt an, wie schnell sich bei einer Kreisbewegung die Richtung der Geschwindigkeit ändert. Sie ist immer zur Kreismitte hin gerichtet und sorgt dafür, dass der beschleunigte Körper auf der Kreisbahn bleibt. Die Normalbeschleunigung ist also dann gegeben, wenn sich die Richtung des Körpers zeitlich ändert.

Die Tangentialbeschleunigung ist tangential zur Kreisbewegung gerichtet, sie führt zu einer Änderung der Geschwindigkeit auf der Kreisbahn.


Die gesamte Beschleunigung als Skalar lässt sich somit berechnen zu:

Methode

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$a = \sqrt{a_r^2 + a_{\varphi}^2}$

 

Konstante Winkelgeschwindigkeit

Ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ konstant, so ergibt die Ableitung $\dot{\omega} = 0$.  Damit ist auch die Umfangsgeschwindigkeit Null:

$a_{\varphi} = r \dot{\omega} = 0$ für $\omega = const$.


Die Radialbeschleunigung hingegen ist dann nicht Null:

$a_r = - r \omega^2 \neq 0$ für $\omega = const$.

 

Damit ändert sich nur die Bewegungsrichtung, weil sich die Radialbeschleunigung ändert. Die Geschwindigkeit hingegen ändert sich nicht, weil die Umfangsbeschleunigung zu Null wird. Das bedeutet also:

Methode

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$a = a_r$    Beschleunigung bei konstanter Winkelgeschwindigkeit

Häufig wird der Gedankenfehler gemacht eine gleichförmige Kreisbewegung bedeute, dass keine Beschleunigung gegeben ist. Dies ist nicht richtig. Die Umfangsbeschleunigung ist Null, d.h. die Geschwindigkeit ist konstant. Aber die Richtung ändert sich ständig, d.h. es tritt eine Beschleunigung auf, die Radialbeschleunigung.

Prüfungstipp

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Also: Die Beschleunigung setzt sich zusammen aus einem Teil, welcher für die Bewegungsänderung zuständig ist und einem Teil, welcher für die Geschwindigkeitsänderung zuständig ist. Ist eines der beiden Teilbeschleunigungen gegeben, so ist insgesamt also von einer beschleunigten Bewegung die Rede. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Teil welcher für die Bewegungsänderung zuständig ist gegeben. Demnach handelt es sich hierbei um eine beschleunigte Bewegung. Eine gradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit hingegen weist keine Beschleunigung auf, weil weder Geschwindigkeit noch Richtung sich ändern.

Anwendungsbeispiel: Kreisbewegung in Polarkoordinaten

Beispiel

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Gegeben sei ein Schwungrad mit einem Radius von $r = 40 cm$. Dieses Schwungrad wird aus seiner Ruheposition gleichmäßig beschleunigt. Nach $t_1 = 20 s$ besitzt das Schwungrad eine Drehzahl von n = 800 Drehungen pro Minute.

a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung $\dot{\omega}$ des Rades?

b) Wieviele Umdrehungen macht das Rad in der Zeit $t_1 = 20s$?

c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t_2 = 2 s$ auf einem Punkt $P$ des Umfanges!

Bei einer gleichmäßigen beschleunigten Kreisbewegung ist die Winkelbeschleunigung $\dot{\omega}$ konstant:

$\ddot{\varphi} = \dot{\omega} = const.$

Die Winkelbeschleunigung ergibt sich durch die 2. Ableitung des Winkels $\varphi$ nach der Zeit $t$ bzw. durch die 1. Ableitung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ nach der Zeit $t$.


Die Winkelgeschwindigkeit errechnet sich demnach durch die Integration:

$\int_{\omega_0}^{\omega} d \omega = \int_{t_0}^t \dot{\omega} dt$


Da $\dot{\omega} = const$ gilt:

$\omega - \omega_0 = \dot{\omega} \cdot t - \dot{\omega} \cdot t_0$

Methode

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$\omega = \omega_0 + \dot{\omega} \cdot t - \dot{\omega} \cdot t_0$


Das Schwungrad befindet sich in der Anfangsposition bei $t_0 = 0$ in Ruhe, d.h. $\omega_0 = 0$:

Methode

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$\omega = \dot{\omega} \cdot t $


Es wird also zunächst die Winkelgeschwindigkeit bestimmt.

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit kann mittels der Drehzahl und des Kreisumfanges bestimmt werden.

Die Drehzahl $n$ gibt in diesem Beispiel die Umdrehungen pro Minute an. Die Umdrehungen pro Minute werden auch angegeben in $\frac{U}{\min}$ oder in $\frac{1}{\min}$. In diesem Beispiel ist die Umdrehung pro Minute $n = 800 \frac{1}{min}$.

Eine volle Kreisumdrehung entspricht einem Winkel von $2\pi$. Die Winkelgeschwindigkeit wird demnach bestimmt, indem die Drehzahl pro Minute und der Umfang des Kreises ($2\pi$) den das Schwungrad umläuft miteinander multipliziert werden. Dann hat man zunächst die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ pro Minute gegeben:

$\omega = 800 \frac{1}{\min} \cdot 2 \pi = 5026,55 \frac{rad}{\min}$

Dabei ist $1  \frac{rad}{\min}$  die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers, der seinen Drehwinkel pro Minute um einen Radiant ($\approx 57,3 °$) ändert. Demnach ändert das Schwungrad seinen Drehwinkel pro Minute um 5026,55 Radianten.

Merke

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Exkurs: Umrechung Radiant und Grad

Ein Vollwinkel hat $2\pi$ Radiant bzw. 360 Grad.

Ein Radiant (1 rad) entsprechen ungefähr 57,3 Grad.

Berechnung:

$1 rad = \frac{360°}{2\pi} = 57,3°$.

Die Drehzahl ist laut Aufgabenstellung nach $t_1 = 20s$ erreicht. Die Winkelgeschwindigkeit muss also in Sekunden berechnet werden:


Die Winkelgeschwindigkeit pro Sekunde ist:

Methode

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$\omega = 800 \frac{1}{\min} \cdot 2 \pi \frac{1}{60s} = 83,78 \frac{rad}{s}$

Das entspricht der Winkelgeschwindigkeit des Schwungrads, der seinen Drehwinkel pro Sekunde um 83,78 Radianten ändert. Im SI-Einheitssystem ist Radiant der Name für die dimensionslose SI-Einheit m/m. Aufgrund dieser Eigenschaften kann er in Rechnungen auch einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. 

Methode

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$\omega = 800 \frac{1}{\min} \cdot 2 \pi \frac{1}{60s} = 83,78 \frac{1}{s}$

Winkelbeschleunigung

Als nächstes kann die Winkelbeschleunigung $\dot{\omega}$ bestimmt werden. Die Winkelgeschwindigkeit ließ sich berechnen durch:

$\omega = \dot{\omega} \cdot t$.


Umstellen nach $\dot{\omega}$ ergibt:

$\dot{\omega} = \frac{\omega}{t}$


Es wird nun die Winkelbeschleunigung für $t_1 = 20s$ bestimmt:

Methode

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$\dot{\omega} = \frac{83,78 \frac{rad}{s}}{ 20s} = 4,19 \frac{1}{s^2}$

Umdrehungen

Um als nächstes die Umdrehungen des Schwungrades in der Zeit $t_1 = 20s$ zu bestimmen, muss der Winkel $\varphi$ bestimmt werden. Diese kann aus der folgenden Beziehung berechnet werden:

$\omega = \dot{\omega} \cdot t$

Es gilt: $\dot{\varphi} = \omega$. Einsetzen:

$\dot{\varphi} = \dot{\omega} \cdot t$


Integration führt zu (mit $\varphi_0 = 0$ und $t_0 = 0$):

$\int_{\varphi_0}^{\varphi} d\varphi  = \int_{t_0}^t \dot{\omega} \cdot t dt$

$\varphi  = \dot{\omega} \frac{1}{2} \cdot t^2$

Für $t = t_1 = 20s$ gilt dann der Winkel:

$\varphi_1  = \dot{\omega} \frac{1}{2} \cdot t_1^2$

Einsetzen von $\dot{\omega} = 4,19 \frac{1}{s^2}$ und $t_1 = 20s$ ergibt sich:

$\varphi_1  = 4,19 \frac{1}{s^2} \frac{1}{2} \cdot (20s)^2 = 838$.

Dieser hier angegeben Winkel (in Bogenmaß) wird nach 20 Sekunden und $N$-Umdrehungen erreicht. Es ist also der gesamte Winkel nach einer Zeit von $t_1 = 20s$. Um nun die $N$-Umdrehungen zu bestimmen, muss durch $2\pi$ geteilt werden. $2\pi$ ist ein Vollkreis angegeben in Bogenmaß. Und dieser Vollkreis entspricht genau einer Umdrehung. Um nun die gesamten Umdrehungen nach einer Zeit von $20s$ zu bestimmen, berechnet man:

Methode

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$N = \frac{\varphi_1}{2\pi} = \frac{838}{2\pi} = 133$ Umdrehungen.

Man kann das Ganze statt in Bogenmaß auch in Winkelmaß bestimmen. Dies soll hier gezeigt werden, da die Erläuterungen mittels Winkelmaß übersichtlicher sind. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe.

Zunächst wird der Winkel $\varphi_1$ in Winkelmaß umgerechnet:

$\varphi_1 = \frac{360°}{2\pi} \cdot 838 = 48.013,86 °$.

Nach 20s erreicht das Schwungrad demnach einen gesamten Winkel von 48.013,86° bei $N$-Undrehungen. Es muss nun durch 360° (=Vollkreis) geteilt werden, da eine Umdrehung genau den 360° entspricht. Das bedeutet $N$-Umdrehungen entsprechen 48.013,86°. Unter Anwendung des Dreisatzes erhält man dann die Umdrehungen für den Winkel von 48.013,86°:

Methode

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$N = \frac{48.013,86°}{360°} = 133$ Umdrehungen.

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Es wird nun die Geschwindigkeit und die Beschleunigung für $t_2 = 2s$ bestimmt. Die Geschwindigkeit (in Skalar) ist bei einer ebenen Kreisbewegung ist angegeben durch:

$v = v_{\varphi} =r \omega$


Einsetzen von $\omega = \dot{\omega} \cdot t$ ergibt:

Methode

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$v = v_{\varphi} =r \dot{\omega} \cdot t = 40 cm \cdot 4,19 \frac{1}{s^2} \cdot 2s = 335,2 \frac{cm}{s^2}$

Die Beschleunigung bestimmt sich durch die zwei skalaren Komponenten:

$a_r = - r \omega^2 $

$a_{\varphi} = r \dot{\omega} $


Einsetzen von $\omega = \dot{\omega} \cdot t$ ergibt:

$a_r = - r (\dot{\omega} \cdot t)^2  = -40 cm (4,19 \frac{1}{s^2} \cdot 2s)^2 = -2.808,98 \frac{cm}{s^2}$

$a_{\varphi} = r \dot{\omega} = 40 cm \cdot 4,19 \frac{1}{s^2} = 167,6 \frac{cm}{s^2}$


Es ergibt sich demnach eine Beschleunigung von:

Methode

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$a = \sqrt{(-2.808,98)^2 + 167,6^2} = 2.813,98 \frac{cm}{s^2}$.