Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird der Drehimpuls und der Drehimpulssatz für das Massenpunktsystem aufgeführt und Anwendungsbeispiele aufgezeigt, welche die Anwendung des Drehimpulssatzes veranschaulichen sollen.
Drehimpuls
Der Drehimpuls
Methode
Dabei ist
Methode
Der Drehimpuls für das Massenpunktsystem wird bestimmt, indem die Summe der Drehimpulse der einzelnen Massenpunkte gebildet wird:
Methode
mit
Drehimpulssatz
Die Summe der Momente
Merke
Dabei heben sich auch hier wieder die inneren Kräfte gegenseitig auf, d.h. die Summe der Momente ist:
Den Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Summe der Momente des Massenpunktsystems bezeichnet man als Drehimpulssatz. Die Herleitung des Zusammenhangs kann im Abschnitt Drehimpuls / Drehimpulssatz des vorherigen Kapitels Kinetmatik des Massenpunktes entnommen werden. Hier soll nun sofort der Drehimpulssatz für das Massenpunktsystem aufgezeigt werden:
Methode
Das bedeutet also, dass die Ableitung des Drehimpulses des Massenpunktsystems nach der Zeit
Damit ergibt sich der Drehimpulssatz formel zu:
Methode
Die Ableitung des Drehimpulses ist gleich der Summe aller Momente die auf die einzelnen Massenpunkte im Massenpunktsystem wirken. Dabei ist die Summe aller Momente:
Sonderfall: Kreisbewegung
Es wird hier noch als Sonderfall die Kreisbewegung betrachtet. Bei der Kreisbewegung ergibt sich der Drehimpuls des Massenpunktsystems wie folgt:
Methode
Der Drehimpulssatz des Massenpunktsystems ergibt sich dann zu:
Methode
Bei der Kreisbewegung fällt das Kreuzprodukt
Will man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich der Drehimpuls mit
Methode
mit
Der Drehimpulssatz in Abhängigkeit vom Winkel ergibt sich dann zu:
Methode
mit
Beispiel: Drehimpulssatz Massenpunktsystem
Beispiel
Gegeben seien die vier Kugeln mit der Masse
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugeln zum Zeitpunkt
Es handelt sich in diesem Beispiel um eine Kreisbewegung. Der Drehimpulssatz des Massenpunktsystems ergibt sich dann zu:
Es werden zunächst die Summe der Momente bezogen auf den Punkt
Die Gewichtskräfte der Kugeln
Einsetzen von
Einsetzen in den Drehimpulssatz:
Da
Einsetzen der Werte:
Auflösen nach
Es gilt
Einsetzen von
Methode
Die Geschwindigkeit der Kugeln beträgt zum Zeitpunkt
Beispiel: Drehimpulssatz (Winkel) Massenpunktsystem
Beispiel
Gegeben sei das obige Pendel, an welchem 2 Kugeln befestigt sind. Die Kugeln seinen an einer starren Stangen befestigt (
Es handelt sich hierbei wieder um eine Kreisbewegung. Das bedeutet, dass der folgenden Drehimpulssatz angewandt wird:
Methode
mit
Es ist hier der Drehimpulssatz in Abhängigkeit vom Winkel gewählt worden, da sich das Pendel in der Zeichenebene bewegt (es schwingt nach links und rechts) und somit der Winkel
Es wird zunächst die Summe aller Momente
In der obigen Grafik ist der Hebelarm von
Auflösen nach der Gegenkathete ergibt den Hebelarm für
Den Hebelarm für
Es kann nun die Summe der Momente um den Bezugspunkt
Das Minuszeichen resultiert, weil die Kräfte entgegen der positiven Richtung drehen. Die Kräfte drehen das Pendel also IM Uhrzeigersinn und deswegen müssen diese ein negatives Vorzeichen erhalten. Grund dafür ist, dass die Kräfte dazu führen, dass diese das Pendel nicht zur Drehung bewegen, sondern genau das Gegenteil. Diese Kräfte führen dazu, dass das Pendel wieder aufhört sich zu bewegen und am Ende wieder in der Ruheposition verharrt.
Mit
Es kann als nächstes der Drehimpulssatz angewandt werden:
Einsetzen von
Dabei ist
Zusammenfassen:
Auflösen nach der Winkelbeschleunigung
Methode
Die obige Gleichung entspricht der Bewegungsgleichung. Angenommen
Bei einer Auslenkung von 30°, bewegt sich das Pendel mit einer Winkelbeschleunigung von
Tauscht man nun die Massen, also
Es ist deutlich zu erkennen, dass bei dem Tausch der Massen, wobei die schwerere Kugel diesmal die obere ist, eine größere Winkelbeschleunigung resultiert, als wenn die schwerere Kugel unten ist.
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