Drehimpuls / Drehimpulssatz

In diesem Abschnitt wird der Drehimpuls und der Drehimpulssatz aufgezeigt. Es erfolgt ein ausführliches Beispiel zur Lösung von Aufgaben mittels des Drehimpulssatzes. 

Drehimpuls

Der Drehimpuls $L^{(0)}$ eines Massenpunktes in Bezug auf einen Bezugspunkt $0$ (hier: Koordinatenursprung) ist definiert als das Moment des Impulses des Massenpunktes bezogen auf diesen Punkt $0$. Der Drehimpuls wird auch als Impulsmoment bezeichnet. In Vektorschreibweise wird dieser geschrieben zu:

Dabei ist $\times$ das Kreuzprodukt. Der Drehimpuls $L^{(0)}$ steht senkrecht auf der Ebene, die vom Ortsvektor $r$ und vom Geschwindigkeitsvektor $v$ aufgespannt wird:

Es handelt sich hierbei also um den Drehimpuls um den Ursprung $0$. Dabei stehen der Ortsvektor $r$ und der Impuls $mv$ senkrecht zueinander.

Drehimpulssatz

Die Summe der Momente $\sum M$ aller äußeren Kräfte auf den Massenpunkt um den Punkt $0$ sollen mit dem Drehimpuls in Beziehung gesetzt werden. Hierzu betrachtet man zunächst das Newtonsche Grundgesetz:

$F=ma$

Für $a=\frac{dv}{dt}$ gilt dann:

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$F=m\frac{dv}{dt}$

Das Newtonsche Grundgesetz wird nun vektoriell (Kreuzprodukt) mit dem Ortsvektor $r$ multipliziert:

$r\times F=r\times m\frac{dv}{dt}$

Dabei ist $M^{(0)}=r\times F$ die Summe der Momente aller äußeren Kräfte $F$ auf den Massenpunkt um den Bezugspunkt $0$.

$M^{(0)}=r\times F=r\times m\frac{dv}{dt}$

Es gilt

$L^{(0)}=r\times mv$

und damit

$\frac{d{L}^{(0)}}{dt}=\frac{dr}{dt}\times mv+r\times m\frac{dv}{dt}$

Da $v=\frac{dr}{dt}$ ergibt sich:

$\frac{d{L}^{(0)}}{dt}=\frac{dr}{dt}\times m\frac{dr}{dt}+r\times m\frac{dv}{dt}$

Mit $\frac{dr}{dt}\times m\frac{dr}{dt}=0$. Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt Null (Kreuzprodukt: $\dot{r}\times \dot{r}=0$). Der erste Term der rechten Seite fällt also weg:

Wird das Moment $M^{(0)}=0$, so ist der Drehimpuls konstant:

Betrachtet man nun die $x$,$y$-Ebene, so kann man den Drehimpuls auch in Komponenten darstellen:

$L^{(0)}=r\times mv$:

Sonderfall: Kreisbewegung

Im Sonderfall der Kreisbewegung ist der Drehimpuls (hier: kein Kreuzprodukt):

Es besteht wieder der Zusammenhang (mit $r=const$ und $m=const$):

Will man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich mit $v=r\dot{\phi }=r\omega$:

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

$\frac{L^{(0)}}{dt}=M^{(0)}$

Und damit:

Beispiel: Drehimpuls und Beschleunigung

Es handelt sich hier um eine kreisförmige Rampe. Deswegen wird der Drehimpuls bestimmt durch:

$L^{(A)}=rmv$

$\frac{d{L}^{(A)}}{dt}=\frac{drmv}{dt}=mr\frac{dv}{dt}$

Die Ableitung ist gleich der Summe der Momente die auf den Massenpunkt wirken:

$\frac{d{L}^{(A)}}{dt}=M^{(A)}$

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Das Freikörperbild zeigt die Kräfte, die an der Kiste angreifen. Dabei greift die Gewichtskraft $G=mg$ an den Massenpunkt der Kiste an, sowie die Normalkraft $N$, welche die Kiste in der Rampe hält und verhindert, dass dieser in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt. Da die Reibung vernachlässigt werden soll, tritt keine Reibungskraft $R. auf. 

Die Beschleunigung $a=\frac{dv}{dt}$ kann nun bestimmt werden:

$\frac{d{L}^{(A)}}{dt}=M^{(A)}$

$\to mr\frac{dv}{dt}=M^{(A)}$

Die Summe der Momente $M^{(A)}$ aller Kräfte, die an die Kiste angreifen für den Bezugspunkt $A$ sind zunächst zu bestimmen. Es existieren die beiden Kräfte $G$ und $N$. Allerdings besitzt $N$ keinen Hebelarm, d.h. die Wirkungslinie von $N$ schneidet bereits den Bezugspunkt. Für die Momentenberechnung fällt $N$ also raus. $G$ hingegen besitzt den Hebelarm, welcher im obigen Freikörperbild rot markiert ist. Ein Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand der Kraft zum Bezugspunkt oder:

Die Kraft $G$ wird also solange parallel zu sich selbst verschoben (rote Linie), bis die Wirkungslinie der Kraft $G$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Mittels Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck kann man die rote Linie bestimmen. $r$ ist gegeben und $\alpha$ ist gegeben. $r$ stellt die Hypotenuse dar, die rote Linie stellt die Gegenkathete $h$ dar:

$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{h}{r}$

Es ist also:

$M^{(A)}=Gr\sin (\alpha )$

Es gilt $G=mg$:

$M^{(A)}=mgr\sin (\alpha )$

Mit $\frac{d{L}^{(A)}}{dt}=M^{(A)}$ ergibt sich demnach:

$mr\frac{dv}{dt}=mgr\sin (\alpha )$

Auflösen nach $a=\frac{dv}{dt}$

$a=\frac{mgr\sin (\alpha )}{mr}$

$a=g\sin (\alpha )$

$a=9,81\frac{m}{s^2}\sin (30°)=4,91\frac{m}{s^2}$.

Steht die Kiste in diesem Winkel $\alpha =30°$, so ist die Beschleunigung bei $4,91\frac{m}{s^2}$.

Beispiel: Pendel

Zunächst wird das Freikörperbild gezeichnet. Es wird der Winkel $\phi$ mit positiver Drehrichtung eingeführt. Der Drehimpuls soll bezüglich des Punkes $A$ bestimmt werden.

Da es sich hierbei um eine Kreisbewegung des Pendels handelt, gilt:

$L^{(A)}=rmv$

Dabei ist $r=l$:

$L^{(A)}=lmv$

Der Drehimpuls soll in Abhängigkeit von der Lage bestimmt werden. D.h. also in Abhängigkeit vom Winkel $\phi$:

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

$\frac{L^{(0)}}{dt}=M^{(0)}$

Es gilt:

$\frac{L^{(0)}}{dt}=m{l}^2\dot{\omega }=m{l}^2\ddot{\phi }$

Es werden nun zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug auf den Punkt $A$ bestimmt:

$M^{(0)}=-G\cdot l\sin (\phi )$

Mit $G=mg$ ergibt sich:

$M^{(0)}=-mg\cdot l\sin (\phi )$

Das Minuszeichen resultiert, weil die Gewichtskraft $G$ das Pendel entgegen der positiven Drehrichtung nach unten zieht.

Gleichsetzen von $\frac{L^{(0)}}{dt}=M^{(0)}$:

$m{l}^2\ddot{\phi }=-mg\cdot l\sin (\phi )$

$m{l}^2\ddot{\phi }+mg\cdot l\sin (\phi )=0$     / :m

$l^2\ddot{\phi }+g\cdot l\sin (\phi )=0$     / :l²

$\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\sin (\phi )=0$ 

Schlägt das Pendel nun um 30° aus, so ergibt sich die Winkelbeschleunigung $\ddot{\phi }$ zu:

$\ddot{\phi }+\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{0,3m}\sin (30°)=0$ 

$\ddot{\phi }=-\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{0,3m}\sin (30°)$

$\ddot{\phi }=-16,35s^{-2}$

Das negative Vorzeichen bei der Winkelbeschleunigung gibt an, dass sich mit jedem Pendelschlag die Winkelgeschwindigkeit verringert. Die hier angegebene Winkelbeschleunigung gilt nur für den Ausschlag des Pendels um 30° zur Vertikalen. Betrachtet man nun einen Winkel von 45°, so muss die Winkelbeschleunigung größer sein:

$\ddot{\phi }=-\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{0,3m}\sin (45°)=-23,12s^{-2}$

Bei einem Winkel unter 30° entsprechend geringer:

$\ddot{\phi }=-\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{0,3m}\sin (20°)=-11,18s^{-2}$

Alternativ kann man auch bei gegebener Winkelbeschleunigung den Winkel $\phi$ bestimmen:

$\phi =-{\sin }^{-1}(\frac{\ddot{\phi }\cdot 0,3m}{9,81\frac{m}{s^2}})$

Bei einer Winkelbeschleunigung von $\ddot{\phi }=-16,35s^{-2}$ ergibt sich demnach der Winkel:

$\phi =-{\sin }^{-1}(\frac{-16,35s^{-2}\cdot 0,3m}{9,81\frac{m}{s^2}})=30°$
 

Beispiel: Konstaner Drehimpuls

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

(a) Winkelgeschwindigkeit bestimmen

Es existiert hier nur die Seilkraft $S$ in der betrachteten Ebene. Die Draufsicht auf die Kreisbahn ist hier von oben. Die Gewichtskraft wirkt nach unten, wird aber durch die Kreisbahn selber aufgehoben. Das bedeutet $N=G$. Es muss also nur die Seilkraft $S$ betrachtet werden.

Es wird zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug zum Punkt $A$ betrachtet. Da die Seilkraft die einzige Kraft ist, die berücksichtigt werden muss und die Wirkungslinie dieser den Bezugspunkt $A$ bereits schneidet, existiert kein Hebelarm und damit ist:

$M^{(A)}=0$.

Das wiederrum bedeutet, dass der Drehimpuls konstant ist:

$\frac{d{L}^{(A)}}{dt}=0$    und damit    $L^{(A)}=const$.

Was bedeutet das?

Es gilt für den Drehimpuls:

$L_0^{(A)}=mrv$

Mit $v=r\dot{\phi }=r\omega$:

$L_0^{(A)}=m{r}^2\omega$

Es wird nun zunächst der Drehimpuls $L_0^{(A)}$ bestimmt:

$L_0^{(A)}=m{r}_0^2{\omega }_0$

Und dann der Drehimpuls $L_1^{(A)}$:

$L_1^{(A)}=m{r}_1^2{\omega }_1$

Da der Drehimpuls konstant ist gilt:

$L_0^{(A)}=L_1^{(A)}$

$m{r}_0^2{\omega }_0=m{r}_1^2{\omega }_1$

Auflösen nach ${\omega }_1$:

${\omega }_1=\frac{m{r}_0^2{\omega }_0}{m{r}_1^2}$

${\omega }_1=\frac{r_0^2{\omega }_0}{r_1^2}$

Es muss als nächstes die Winkelgeschwindigkeit ${\omega }_0$ bestimmt werden. Diese kann aus der Drehzahl $n_0$ bestimmt werden. Die Kugel dreht sich 1.000 mal in einer Minute um die Kreisbahn. Das bedeutet bei einer Drehzahl $n_0$ wird in einer Minute ein Winkel von $n_0\cdot 2\pi$ überstrichen. Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich dann in Sekunden:

Es können nun aller Werte eingesetzt werden, um ${\omega }_1$ zu bestimmen:

${\omega }_1=\frac{(10cm{)}^2\cdot 104,72s^{-1}}{(15cm{)}^2}$

Die Winkelgeschwindigkeit ${\omega }_1$ ist geringer als ${\omega }_0$. Grund dafür ist, dass das Seil länger ist und damit auch der Weg, den die Kugel für die Umrundung der Kreisbahn benötigt.

Die Drehzahl liegt nun bei:

$\omega =n_0\cdot 2\pi$

$n_1=\frac{{\omega }_1}{2\pi }=\frac{46,54s^{-1}}{2\pi }=7,41s^{-1}=444mi{n}^{-1}$

(b) Seilkraft bestimmen

Es soll noch bestimmt werden, wie sich die Seilkraft ändert, d.h. also $S_1-S_0$. Dazu benötigt man das Newtonsche Grundgesetz, um die Seilkraft $S_0$ zu bestimmen:

$\nearrow F=ma$

$S_0=m{a}_0$

Damit $S_0$ bestimmt werden kann, muss $a$ gegeben sein. Es handelt sich hierbei um eine ebene Kreisbewegung (siehe Abschnitt: Sonderfall Kreisbewegung). Die Beschleunigung lässt sich hier ermitteln durch die beiden skalaren Komponenten:

$a=\sqrt{a_r^2+a_{\phi }^2}$

Da es sich um eine konstante Winkelbeschleunigung $\omega =const$ handelt, fällt die Umfangsbeschleunigung weg (Ableitung von $\omega$ gleich Null):

$a=a_r=r{\omega }^2$  

Einsetzen:

$S_0=m\cdot r_0{\omega }_0^2$

$S_0=m\cdot 0,1m\cdot (104,72s^{-1}{)}^2$

Es gilt nun $S_1$ zu bestimmen durch:

$S_1=m\cdot r_1{\omega }_1^2$

$S_1=m\cdot 0,15m\cdot (46,54s^{-1}{)}^2$

Es wird nun $S_1$ in Abhängigkeit von $S_0$ bestimmt, indem $S_0$ nach $m$ aufgelöst und in $S_1$ eingesetzt wird:

$S_1=S_0\frac{1}{0,1m\cdot (104,72s^{-1}{)}^2}\cdot 0,15m\cdot (46,54s^{-1}{)}^2$

Die Seilkraft $S_1$ ist also das 0,2963-Fache der Seilkraft $S_0$. Beträgt nun z.B. die Masse $m=10kg$, so ergeben sich die Kräfte:

$S_0 =10 kg \cdot  0,1 m \cdot (104,72 s^{-1})^2  = 10.966,28 N

$S_1=0,3S_0=3.248,96N$

Berechnet man die Seilkraft $S_1$ direkt aus der Formel ergibt sich:

$S_1=10kg\cdot 0,15m\cdot (46,54s^{-1}{)}^2=3.248,96N$

Die Seilkraft verringert sich also mit zunehmender Länge.