Drehimpuls / Drehimpulssatz

In diesem Abschnitt wird der Drehimpuls und der Drehimpulssatz aufgezeigt. Es erfolgt ein ausführliches Beispiel zur Lösung von Aufgaben mittels des Drehimpulssatzes. 

Drehimpuls

Der Drehimpuls $L^{(0)}$ eines Massenpunktes in Bezug auf einen Bezugspunkt $0$ (hier: Koordinatenursprung) ist definiert als das Moment des Impulses des Massenpunktes bezogen auf diesen Punkt $0$. Der Drehimpuls wird auch als Impulsmoment bezeichnet. In Vektorschreibweise wird dieser geschrieben zu:

Dabei ist $\times$ das Kreuzprodukt. Der Drehimpuls $L^{(0)}$ steht senkrecht auf der Ebene, die vom Ortsvektor $r$ und vom Geschwindigkeitsvektor $v$ aufgespannt wird:

Es handelt sich hierbei also um den Drehimpuls um den Ursprung $0$. Dabei stehen der Ortsvektor $r$ und der Impuls $mv$ senkrecht zueinander.

Drehimpulssatz

Die Summe der Momente $\sum M$ aller äußeren Kräfte auf den Massenpunkt um den Punkt $0$ sollen mit dem Drehimpuls in Beziehung gesetzt werden. Hierzu betrachtet man zunächst das Newtonsche Grundgesetz:

$F = ma$

Für $a = \frac{dv}{dt}$ gilt dann:

$F = m \frac{dv}{dt}$

Das Newtonsche Grundgesetz wird nun vektoriell (Kreuzprodukt) mit dem Ortsvektor $r$ multipliziert:

$r \times F = r \times m \frac{dv}{dt}$

Dabei ist $ M^{(0)} = r \times F$ die Summe der Momente aller äußeren Kräfte $F$ auf den Massenpunkt um den Bezugspunkt $0$.

$M^{(0)} = r \times F = r \times m \frac{dv}{dt}$

Es gilt

$L^{(0)} = r \; \times \; mv$

und damit

$\frac{dL^{(0)}}{dt} = \frac{dr}{dt} \; \times \; mv +  r \times m \frac{dv}{dt}$

Da $v = \frac{dr}{dt}$ ergibt sich:

$\frac{dL^{(0)}}{dt} = \frac{dr}{dt} \; \times \; m \frac{dr}{dt} +  r \times m \frac{dv}{dt}$

Mit $\frac{dr}{dt} \times m \frac{dr}{dt} = 0$. Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt Null (Kreuzprodukt: $\dot{r} \times \dot{r} = 0$). Der erste Term der rechten Seite fällt also weg:

Wird das Moment $M^{(0)} = 0$, so ist der Drehimpuls konstant:

Betrachtet man nun die $x$,$y$-Ebene, so kann man den Drehimpuls auch in Komponenten darstellen:

$L^{(0)} = r \; \times \; mv$:

Sonderfall: Kreisbewegung

Im Sonderfall der Kreisbewegung ist der Drehimpuls (hier: kein Kreuzprodukt):

Es besteht wieder der Zusammenhang (mit $r = const$ und $m = const$):

Will man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich mit $v = r \dot{\varphi} = r \omega$:

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

$\frac{L^{(0)} }{dt} = M^{(0)}$

Und damit:

Beispiel: Drehimpuls und Beschleunigung

Es handelt sich hier um eine kreisförmige Rampe. Deswegen wird der Drehimpuls bestimmt durch:

$L^{(A)} = r \; m \; v$

$\frac{dL^{(A)}}{dt}  = \frac{drmv}{dt} = mr \frac{dv}{dt}$

Die Ableitung ist gleich der Summe der Momente die auf den Massenpunkt wirken:

$\frac{dL^{(A)}}{dt}  = M^{(A)}$

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Das Freikörperbild zeigt die Kräfte, die an der Kiste angreifen. Dabei greift die Gewichtskraft $G = mg$ an den Massenpunkt der Kiste an, sowie die Normalkraft $N$, welche die Kiste in der Rampe hält und verhindert, dass dieser in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt. Da die Reibung vernachlässigt werden soll, tritt keine Reibungskraft $R$ auf. 

Die Beschleunigung $a = \frac{dv}{dt}$ kann nun bestimmt werden:

$\frac{dL^{(A)}}{dt} = M^{(A)} $

$\rightarrow \; mr \frac{dv}{dt} =  M^{(A)} $

Die Summe der Momente $ M^{(A)}$ aller Kräfte, die an die Kiste angreifen für den Bezugspunkt $A$ sind zunächst zu bestimmen. Es existieren die beiden Kräfte $G$ und $N$. Allerdings besitzt $N$ keinen Hebelarm, d.h. die Wirkungslinie von $N$ schneidet bereits den Bezugspunkt. Für die Momentenberechnung fällt $N$ also raus. $G$ hingegen besitzt den Hebelarm, welcher im obigen Freikörperbild rot markiert ist. Ein Hebelarm ist immer der senkrechte Abstand der Kraft zum Bezugspunkt oder:

Die Kraft $G$ wird also solange parallel zu sich selbst verschoben (rote Linie), bis die Wirkungslinie der Kraft $G$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Mittels Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck kann man die rote Linie bestimmen. $r$ ist gegeben und $\alpha$ ist gegeben. $r$ stellt die Hypotenuse dar, die rote Linie stellt die Gegenkathete $h$ dar:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{h}{r}$

Es ist also:

$M^{(A)} = G r \sin (\alpha) $

Es gilt $G = mg$:

$M^{(A)} = mg \; r \sin (\alpha) $

Mit $\frac{dL^{(A)}}{dt} =  M^{(A)} $ ergibt sich demnach:

$mr \frac{dv}{dt} = mg \; r \sin (\alpha) $

Auflösen nach $a = \frac{dv}{dt}$

$a = \frac{mg \; r \sin (\alpha)}{mr} $

$a = g \sin (\alpha)$

$a = 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) = 4,91 \frac{m}{s^2}$.

Steht die Kiste in diesem Winkel $\alpha = 30°$, so ist die Beschleunigung bei $4,91 \frac{m}{s^2}$.

Beispiel: Pendel

Zunächst wird das Freikörperbild gezeichnet. Es wird der Winkel $\varphi$ mit positiver Drehrichtung eingeführt. Der Drehimpuls soll bezüglich des Punkes $A$ bestimmt werden.

Da es sich hierbei um eine Kreisbewegung des Pendels handelt, gilt:

$L^{(A)} = r \; m \; v$

Dabei ist $r = l$:

$L^{(A)} = l \; m \; v$

Der Drehimpuls soll in Abhängigkeit von der Lage bestimmt werden. D.h. also in Abhängigkeit vom Winkel $\varphi$:

Es besteht auch hier wieder der Zusammenhang:

$\frac{L^{(0)} }{dt} = M^{(0)}$

Es gilt:

$\frac{L^{(0)} }{dt} = ml^2 \; \dot{\omega} = ml^2 \; \ddot{\varphi} $

Es werden nun zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug auf den Punkt $A$ bestimmt:

$M^{(0)} = -G \cdot l \sin(\varphi)$

Mit $G = mg$ ergibt sich:

$M^{(0)} = -mg \cdot l \sin(\varphi)$

Das Minuszeichen resultiert, weil die Gewichtskraft $G$ das Pendel entgegen der positiven Drehrichtung nach unten zieht.

Gleichsetzen von $\frac{L^{(0)} }{dt} = M^{(0)}$:

$ml^2 \; \ddot{\varphi}  = -mg \cdot l \sin(\varphi)$

$ml^2 \; \ddot{\varphi}   + mg \cdot l \sin(\varphi) = 0$     / :m

$l^2 \; \ddot{\varphi}   + g \cdot l \sin(\varphi) = 0$     / :l²

$\ddot{\varphi}   +  \frac{g}{l} \sin(\varphi) = 0$ 

Schlägt das Pendel nun um 30° aus, so ergibt sich die Winkelbeschleunigung $\ddot{\varphi}$ zu:

$\ddot{\varphi}  + \frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{0,3 m}  \sin(30°) = 0$ 

$\ddot{\varphi} = - \frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{0,3m}  \sin(30°) $

$\ddot{\varphi} = -16,35 s^{-2}$

Das negative Vorzeichen bei der Winkelbeschleunigung gibt an, dass sich mit jedem Pendelschlag die Winkelgeschwindigkeit verringert. Die hier angegebene Winkelbeschleunigung gilt nur für den Ausschlag des Pendels um 30° zur Vertikalen. Betrachtet man nun einen Winkel von 45°, so muss die Winkelbeschleunigung größer sein:

$\ddot{\varphi} = - \frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{0,3 m}  \sin(45°)  = -23,12 s^{-2}$

Bei einem Winkel unter 30° entsprechend geringer:

$\ddot{\varphi} = - \frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{0,3 m}  \sin(20°)  = -11,18 s^{-2}$

Alternativ kann man auch bei gegebener Winkelbeschleunigung den Winkel $\varphi$ bestimmen:

$\varphi = -\sin^{-1} (\frac{\ddot{\varphi} \cdot 0,3 m}{9,81 \frac{m}{s^2} })$

Bei einer Winkelbeschleunigung von $\ddot{\varphi} = -16,35 s^{-2}$ ergibt sich demnach der Winkel:

$\varphi = -\sin^{-1} (\frac{-16,35 s^{-2} \cdot 0,3 m}{9,81 \frac{m}{s^2} }) =30°$
 

Beispiel: Konstaner Drehimpuls

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

(a) Winkelgeschwindigkeit bestimmen

Es existiert hier nur die Seilkraft $S$ in der betrachteten Ebene. Die Draufsicht auf die Kreisbahn ist hier von oben. Die Gewichtskraft wirkt nach unten, wird aber durch die Kreisbahn selber aufgehoben. Das bedeutet $N = G$. Es muss also nur die Seilkraft $S$ betrachtet werden.

Es wird zunächst die Summe der Momente aller Kräfte die auf die Kugel wirken in Bezug zum Punkt $A$ betrachtet. Da die Seilkraft die einzige Kraft ist, die berücksichtigt werden muss und die Wirkungslinie dieser den Bezugspunkt $A$ bereits schneidet, existiert kein Hebelarm und damit ist:

$ M^{(A)} = 0$.

Das wiederrum bedeutet, dass der Drehimpuls konstant ist:

$\frac{dL^{(A)}}{dt} = 0$    und damit    $L^{(A)} = const$.

Was bedeutet das?

Es gilt für den Drehimpuls:

$L_0^{(A)} = mrv$

Mit $v = r \dot{\varphi} = r \omega$:

$L_0^{(A)} = mr^2 \omega $

Es wird nun zunächst der Drehimpuls $L_0^{(A)}$ bestimmt:

$L_0^{(A)} = mr_0^2 \omega_0$

Und dann der Drehimpuls $L_1^{(A)}$:

$L_1^{(A)} = mr_1^2 \omega_1$

Da der Drehimpuls konstant ist gilt:

$L_0^{(A)} = L_1^{(A)} $

$mr_0^2 \omega_0 = mr_1^2 \omega_1$

Auflösen nach $\omega_1$:

$\omega_1 = \frac{mr_0^2 \omega_0 }{mr_1^2 }$

$\omega_1 = \frac{r_0^2 \omega_0 }{r_1^2 }$

Es muss als nächstes die Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ bestimmt werden. Diese kann aus der Drehzahl $n_0$ bestimmt werden. Die Kugel dreht sich 1.000 mal in einer Minute um die Kreisbahn. Das bedeutet bei einer Drehzahl $n_0$ wird in einer Minute ein Winkel von $n_0 \cdot 2\pi$ überstrichen. Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich dann in Sekunden:

Es können nun aller Werte eingesetzt werden, um $\omega_1$ zu bestimmen:

$\omega_1 = \frac{(10 cm)^2 \cdot 104,72 s^{-1} }{(15 cm)^2 }$

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ ist geringer als $\omega_0$. Grund dafür ist, dass das Seil länger ist und damit auch der Weg, den die Kugel für die Umrundung der Kreisbahn benötigt.

Die Drehzahl liegt nun bei:

$\omega = n_0 \cdot 2\pi $

$n_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{46,54 s^{-1}}{2\pi} = 7,41 s^{-1} = 444 min^{-1}$

(b) Seilkraft bestimmen

Es soll noch bestimmt werden, wie sich die Seilkraft ändert, d.h. also $S_1 - S_0$. Dazu benötigt man das Newtonsche Grundgesetz, um die Seilkraft $S_0$ zu bestimmen:

$\nearrow  F = ma$

$S_0 = ma_0$

Damit $S_0$ bestimmt werden kann, muss $a$ gegeben sein. Es handelt sich hierbei um eine ebene Kreisbewegung (siehe Abschnitt: Sonderfall Kreisbewegung). Die Beschleunigung lässt sich hier ermitteln durch die beiden skalaren Komponenten:

$a = \sqrt{a_r^2 + a_{\varphi}^2}$

Da es sich um eine konstante Winkelbeschleunigung $\omega = const$ handelt, fällt die Umfangsbeschleunigung weg (Ableitung von $\omega$ gleich Null):

$a = a_r =  r \omega^2$  

Einsetzen:

$S_0 = m \cdot r_0 \omega_0^2$

$S_0 = m \cdot  0,1 m \cdot (104,72 s^{-1})^2 $

Es gilt nun $S_1$ zu bestimmen durch:

$S_1 = m \cdot r_1 \omega_1^2$

$S_1 = m \cdot 0,15m \cdot (46,54 s^{-1})^2$

Es wird nun $S_1$ in Abhängigkeit von $S_0$ bestimmt, indem $S_0$ nach $m$ aufgelöst und in $S_1$ eingesetzt wird:

$S_1 = S_0 \frac{1}{0,1 m \cdot (104,72 s^{-1})^2} \cdot 0,15 m \cdot (46,54 s^{-1})^2$

Die Seilkraft $S_1$ ist also das 0,2963-Fache der Seilkraft $S_0$. Beträgt nun z.B. die Masse $m = 10 kg$, so ergeben sich die Kräfte:

$S_0 =10 kg \cdot  0,1 m \cdot (104,72 s^{-1})^2  = 10.966,28 N

$S_1 = 0,3 S_0 = 3.248,96 N$

Berechnet man die Seilkraft $S_1$ direkt aus der Formel ergibt sich:

$S_1 = 10 kg \cdot 0,15m \cdot (46,54 s^{-1})^2 = 3.248,96 N$

Die Seilkraft verringert sich also mit zunehmender Länge.