Arbeitssatz

Es wird zunächst wieder das Newtonsche Grundgesetz aufgeführt:

$F = ma$

Hierbei ist $a = \frac{dv}{dt}$. Die Beschleunigung ist also die Ableitung der Geschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$. Einsetzen ergibt dann die Schreibweise:

$ F = m  \frac{dv}{dt}$

Diese Gleichung wird nun mit $dr$ multipliziert:

$F \cdot dr =  m  \frac{dv}{dt} \cdot dr$

Es gilt $v = \frac{dr}{dt}$ und damit $dr = v \; dt$. Einsetzen in die rechte Seite der Gleichung ergibt:

$F \; dr =  m  \frac{dv}{dt} \cdot v \; dt$

Kürzen der rechten Seite:

$F \; dr =  m  v \; dv$

Es wird nun die Integration zwischen zwei Bahnpunkten $0$ nach $1$ durchgeführt:

$\int F \; dr = \int_{v_0}^v mv \; dv$

$\int F \; dr = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Dabei stellen die beiden Terme auf der rechten Seite $\frac{mv^2}{2}$ die kinetische Energie $E_{kin}$ dar:

Auf die obige Gleichung angwendet ergibt sich somit:

Die linke Seite $\int F \; dr$ ist die Arbeit $W$, welche die resultierende Kraft $F$ zwischen den zwei Bahnpunkten verrichtet. Wie bereits in den vorherigen Abschnitten erlernt, setzt sich die Kraft $F$ aus allen Kräften zusammen, welche an den Massenpunkt angreifen. Hierbei handelt es sich um eingeprägte Kräfte $F^e$ (z.B. Gewichtskraft, Reibungskraft) und um Zwangskräfte $F^z$. Die Zwangskräfte stehen immer senkrecht (im 90°-Winkel) zur Bahn. Die Zwangskräfte verrichten somit keine Arbeit und sind bei der Berechnung nicht zu berücksichtigen:

Man kann also sagen, dass bei der Berechnung der Arbeit nur diejenigen Kräfte berücksichtigt werden dürfen, welche parallel zum betrachteten Weg $s$ liegen.

Es gilt also, dass die Arbeit $W$ gleich der Änderung der kinetischen Energien zwischen zwei Bahnpunkten entspricht. Diesen Zusammenhang nennt man Arbeitssatz:

Die Einheit von Arbeit und kinetischer Energie ist Joule ($J$) oder Newtonmeter ($Nm$):

Beispiel: Kiste auf schiefer Ebene

Es wird zunächst das Freikörperbild gezeichnet:

(a) Arbeit bestimmen

Es soll zunächst die Arbeit $W$, welche die Kräfte auf dem Weg $x_0$ bis $x_1$ verrichten berechnet werden. Es werden nur die eingeprägten Kräfte berücksichtigt. Dabei sind alle Kräfte die senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Bahn (hier: schiefe Ebene) stehen Zwangskräfte, welche nicht bei der Berechnung berücksichtigt werden. Es werden demnach die Normalkraft $N$ und die Komponente der Gewichtskraft $G_y$ nicht berücksichtigt. Berücksichtigt werden also die Reibungskraft $R$ und die Komponente der Gewichtskraft $G_x$:

$W = \int F^e \; dr = int [-R + G_x ] \; dr$

Statt $dr$ gilt hier $dx$:

$W = \int_{x_0}^{x_1}  F^e \; dr = int_{x_0}^{x_1} [-R + G_x ] \; dx$

Das negative Vorzeichen vor der Reibungskraft rührt daher, dass diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Sie zeigt also in negative $x$-Richtung.

Bevor nun die Arbeit $W$ bestimmt werden kann, muss zunächst die Reibungskraft $R = \mu N$ bestimmt werden. Zur Bestimmung der Normalkraft $N$ wird das Newtonsche Grundgesetz in $y$-Richtung angewandt:

Dabei sind $F_y$ die Summe aller in $y$-Richtung zeigenden Kräfte. Die Kraft $N$ zeigt bereits in $y$-Richtung und wird direkt übernommen. Die Kraft $G$ besitzt eine Komponente in $y$-Richtung und in $z$-Richtung. Es wird die Komponente in $y$-Richtung berücksichtigt:

Es gilt $a_y = 0$, da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet:

$N - G \cdot \cos (30°) = 0$

Und damit:

$N = G \cdot \cos(30°) = mg \cdot \cos(30°) $

Die Reibungkraft ergibt sich dann zu:

Es wird nun die Arbeit bestimmt:

$W = -0,3 \cdot mg \cos (30°) (x_1 - x_0) + G \sin(30)  (x_1 - x_0)$

$W = -0,3 \cdot mg \cos (30°) (x_1 - x_0) + mg \sin(30)  (x_1 - x_0)$

Einsetzen aller Werte:

$W = -0,3 \cdot 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) \cdot 5m + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin(30) \cdot 5m$

(b) Geschwindigkeit bestimmen

Die Geschwindigkeit $v$ kann mittels des Arbeitssatzes bestimmt werden, Der Arbeitssatz besagt:

$W = E_{kin1} - E_{kin0} $

$ 117,81 Nm = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Einsetzen der Werte (mit $v_0 = 0$):

$ 117,81 Nm = \frac{10 kg \cdot v_1^2}{2} $

Auflösen nach $v_1$:

Alternativ: Newtonsche Gesetz

Als Alternative zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v_1$ kann auch das Newtonsche Gesetz herangezogen werden:

$F = ma$

Hierbei ist das Newtonsche Gesetz in Komponenten zu zerlegen. Die $x$-Richtung sieht dann wie folgt aus:

$F_x = ma_x$

Es können nun alle Kräfte in $x$-Richtung berücksichtigt werden:

$- R + G_x = ma_x$

$-\mu N + G_x = ma_x$


In $y$-Richtung sieht das Newtonsche Gesetz dann wie folgt aus:

$F_y = ma_y$

Da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet ist $a_y = 0$:

$F_y = 0$

Die Kräfte in $y$-Richtung sind:

$N - G_y = 0$

$N = G_y = G \cos(30°) = mg \cos (30°)$

Es kann nun $N$ eingesetzt werden in $\mu N$:

$-\mu \cdot mg \cos (30°) + G_x = ma_x$

Für $G_x = G \sin (30°) = mg \sin (30°)$:

$-\mu \cdot mg \cos (30°) + mg \sin (30°) = ma_x$

Durch $m$ teilen:

Es gilt wieder $a = \frac{dv}{dt}$. Es soll hier aber nicht die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, sondern in Abhängigkeit vom Weg bestimmt werden. Deswegen wird dieser Term mit $dx$ multipliziert:

$a \frac{dx}{dx} = \frac{dv}{dt}  \frac{dx}{dx}$

Umschreiben:

$a = \frac{dv}{dx}  \frac{dx}{dt}$

Hierbei ist $v = \frac{dx}{dt}$:

$a = \frac{dv}{dx} v$

Es kann nun nach $dv$ aufgelöst und integiert werden:

$\int_{x_0}^{x_1} a \; dx = \int_{v_0}^{v_1} v \; dv$

Einsetzen von $a_x$:

$\int_{x_0}^{x_1} [-\mu \cdot g \cos (30°) + g \sin (30°) ] \; dx = \int_{v_0}^{v_1} v \; dv$

Integration:

$-\mu \cdot g \cos (30°) (x_1 - x_0) + g \sin (30°) (x_1 - x_0)  = \frac{1}{2} v_1^2 - \frac{1}{2} v_0^2$

Einsetzen aller Werte:

$-0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) 5m + 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) 5m = \frac{1}{2} v_1^2 $

Auflösen nach $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2 \cdot [-0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) 5m + 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) 5m]}$