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Technische Mechanik 3: Dynamik - Arbeitssatz

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Arbeitssatz

Merke

In diesem Abschnitt soll der Arbeitssatz hergeleitet und ausführlich erläutert werden. Am Ende des Textes folgt ein Anwendungsbeispiel, in welchem gezeigt wird, wie man Aufgaben mittels des Arbeitssatzes lösen kann. 


Es wird zunächst wieder das Newtonsche Grundgesetz aufgeführt:

$F = ma$

Hierbei ist $a = \frac{dv}{dt}$. Die Beschleunigung ist also die Ableitung der Geschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$. Einsetzen ergibt dann die Schreibweise:

$ F = m  \frac{dv}{dt}$

Diese Gleichung wird nun mit $dr$ multipliziert:

$F \cdot dr =  m  \frac{dv}{dt} \cdot dr$

Es gilt $v = \frac{dr}{dt}$ und damit $dr = v \; dt$. Einsetzen in die rechte Seite der Gleichung ergibt:

$F \; dr =  m  \frac{dv}{dt} \cdot v \; dt$

Kürzen der rechten Seite:

$F \; dr =  m  v \; dv$

Es wird nun die Integration zwischen zwei Bahnpunkten $0$ nach $1$ durchgeführt:

$\int F \; dr = \int_{v_0}^v mv \; dv$

$\int F \; dr = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Dabei stellen die beiden Terme auf der rechten Seite $\frac{mv^2}{2}$ die kinetische Energie $E_{kin}$ dar:

Methode

$E_{kin} = \frac{mv^2}{2}$         Kinetische Energie


Auf die obige Gleichung angwendet ergibt sich somit:

Methode

$\int F \; dr = E_{kin1} - E_{kin0}$

Die linke Seite $\int F \; dr$ ist die Arbeit $W$, welche die resultierende Kraft $F$ zwischen den zwei Bahnpunkten verrichtet. Wie bereits in den vorherigen Abschnitten erlernt, setzt sich die Kraft $F$ aus allen Kräften zusammen, welche an den Massenpunkt angreifen. Hierbei handelt es sich um eingeprägte Kräfte $F^e$ (z.B. Gewichtskraft, Reibungskraft) und um Zwangskräfte $F^z$. Die Zwangskräfte stehen immer senkrecht (im 90°-Winkel) zur Bahn. Die Zwangskräfte verrichten somit keine Arbeit und sind bei der Berechnung nicht zu berücksichtigen:

Methode

$W = \int F^e \; dr $        Arbeit

Man kann also sagen, dass bei der Berechnung der Arbeit nur diejenigen Kräfte berücksichtigt werden dürfen, welche parallel zum betrachteten Weg $s$ liegen.


Es gilt also, dass die Arbeit $W$ gleich der Änderung der kinetischen Energien zwischen zwei Bahnpunkten entspricht. Diesen Zusammenhang nennt man Arbeitssatz:

Methode

$W = E_{kin1} - E_{kin0}$         Arbeitssatz


Die Einheit von Arbeit und kinetischer Energie ist Joule ($J$) oder Newtonmeter ($Nm$):

Methode

$1 J = 1 Nm$.       Einheit: Arbeit und kinetische Energie

Merke

Die Anwendung des Arbeitssatzes zur Lösung von kinetischen Aufgaben empfiehlt sich, wenn die Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von Weg $x$ (geradlinige Bewegung) bzw $s$ (Bahnkurve) gesucht wird bzw. wenn der Weg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gesucht wird.

Merke

Bewegt sich ein Körper nur auf einer Kurve oder einer Fläche, stehen die Zwangskräfte immer senkrecht auf dieser und damit auch auf der Bewegungsrichtung. Daraus folgt, dass Zwangskräfte keine Arbeit verrichten können, außer wenn die Kurve oder Fläche selber sich bewegt, so dass die Zwangsbedingungen explizit von der Zeit abhängen.

Beispiel: Kiste auf schiefer Ebene

Beispiel Arbeitssatz Kiste auf schiefer Ebene

Beispiel

Gegeben sei die obige Kiste ($m = 10 kg$) auf der rauhen schiefen Ebene. Die Kiste wird bei $x_0 = 0$ losgelassen, mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$. Es gilt: $x_1 = 5m$, $\mu = 0,3$, $\alpha = 30°$.

(a) Wie groß ist die verrichtete Arbeit $W$ der Kräfte von $x_0$ bis $x_1$?

(b) Wie groß ist die Geschwindigkeit $v_1$?

Es wird zunächst das Freikörperbild gezeichnet:

Beispiel Arbeitssatz Freikörperbild

(a) Arbeit bestimmen

Es soll zunächst die Arbeit $W$, welche die Kräfte auf dem Weg $x_0$ bis $x_1$ verrichten berechnet werden. Es werden nur die eingeprägten Kräfte berücksichtigt. Dabei sind alle Kräfte die senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Bahn (hier: schiefe Ebene) stehen Zwangskräfte, welche nicht bei der Berechnung berücksichtigt werden. Es werden demnach die Normalkraft $N$ und die Komponente der Gewichtskraft $G_y$ nicht berücksichtigt. Berücksichtigt werden also die Reibungskraft $R$ und die Komponente der Gewichtskraft $G_x$:

$W = \int F^e \; dr = int [-R + G_x ] \; dr$


Statt $dr$ gilt hier $dx$:

$W = \int_{x_0}^{x_1}  F^e \; dr = int_{x_0}^{x_1} [-R + G_x ] \; dx$

Methode

$W = -R(x_1 - x_0) + G_x (x_1 - x_0)$

Das negative Vorzeichen vor der Reibungskraft rührt daher, dass diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Sie zeigt also in negative $x$-Richtung.

Bevor nun die Arbeit $W$ bestimmt werden kann, muss zunächst die Reibungskraft $R = \mu N$ bestimmt werden. Zur Bestimmung der Normalkraft $N$ wird das Newtonsche Grundgesetz in $y$-Richtung angewandt:

Methode

$ F_y = ma_y$

Dabei sind $F_y$ die Summe aller in $y$-Richtung zeigenden Kräfte. Die Kraft $N$ zeigt bereits in $y$-Richtung und wird direkt übernommen. Die Kraft $G$ besitzt eine Komponente in $y$-Richtung und in $z$-Richtung. Es wird die Komponente in $y$-Richtung berücksichtigt:

Methode

$N - G \cdot \cos (30°) = ma_y$


Es gilt $a_y = 0$, da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet:

$N - G \cdot \cos (30°) = 0$

Und damit:

$N = G \cdot \cos(30°) = mg \cdot \cos(30°) $

Die Reibungkraft ergibt sich dann zu:

Methode

$R = \mu N = 0,3 \cdot mg  \cos(30°)$

Es wird nun die Arbeit bestimmt:

$W = -0,3 \cdot mg \cos (30°) (x_1 - x_0) + G \sin(30)  (x_1 - x_0)$

$W = -0,3 \cdot mg \cos (30°) (x_1 - x_0) + mg \sin(30)  (x_1 - x_0)$

Einsetzen aller Werte:

$W = -0,3 \cdot 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) \cdot 5m + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin(30) \cdot 5m$

Methode

$W = 117,81 Nm$

(b) Geschwindigkeit bestimmen

Die Geschwindigkeit $v$ kann mittels des Arbeitssatzes bestimmt werden, Der Arbeitssatz besagt:

$W = E_{kin1} - E_{kin0} $

$ 117,81 Nm = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$


Einsetzen der Werte (mit $v_0 = 0$):

$ 117,81 Nm = \frac{10 kg \cdot v_1^2}{2} $

Auflösen nach $v_1$:

Methode

$v_1 = 4,85 \frac{m}{s}$

Alternativ: Newtonsche Gesetz

Als Alternative zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v_1$ kann auch das Newtonsche Gesetz herangezogen werden:

$F = ma$

Hierbei ist das Newtonsche Gesetz in Komponenten zu zerlegen. Die $x$-Richtung sieht dann wie folgt aus:

$F_x = ma_x$

Es können nun alle Kräfte in $x$-Richtung berücksichtigt werden:

$- R + G_x = ma_x$

$-\mu N + G_x = ma_x$


In $y$-Richtung sieht das Newtonsche Gesetz dann wie folgt aus:

$F_y = ma_y$

Da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet ist $a_y = 0$:

$F_y = 0$

Die Kräfte in $y$-Richtung sind:

$N - G_y = 0$

$N = G_y = G \cos(30°) = mg \cos (30°)$

Es kann nun $N$ eingesetzt werden in $\mu N$:

$-\mu \cdot mg \cos (30°) + G_x = ma_x$

Für $G_x = G \sin (30°) = mg \sin (30°)$:

$-\mu \cdot mg \cos (30°) + mg \sin (30°) = ma_x$

Durch $m$ teilen:

Methode

$-\mu \cdot g \cos (30°) + g \sin (30°) = a_x$

Es gilt wieder $a = \frac{dv}{dt}$. Es soll hier aber nicht die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, sondern in Abhängigkeit vom Weg bestimmt werden. Deswegen wird dieser Term mit $dx$ multipliziert:

$a \frac{dx}{dx} = \frac{dv}{dt}  \frac{dx}{dx}$

Umschreiben:

$a = \frac{dv}{dx}  \frac{dx}{dt}$

Hierbei ist $v = \frac{dx}{dt}$:

$a = \frac{dv}{dx} v$

Es kann nun nach $dv$ aufgelöst und integiert werden:

$\int_{x_0}^{x_1} a \; dx = \int_{v_0}^{v_1} v \; dv$

Einsetzen von $a_x$:

$\int_{x_0}^{x_1} [-\mu \cdot g \cos (30°) + g \sin (30°) ] \; dx = \int_{v_0}^{v_1} v \; dv$

Integration:

$-\mu \cdot g \cos (30°) (x_1 - x_0) + g \sin (30°) (x_1 - x_0)  = \frac{1}{2} v_1^1 - \frac{1}{2} v_0^2$

Einsetzen aller Werte:

$-0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) 5m + 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) 5m = \frac{1}{2} v_1^1 $

Auflösen nach $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2 \cdot [-0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos (30°) 5m + 9,81 \frac{m}{s^2} \sin (30°) 5m]}$

Methode

$v_1 = 4,85 \frac{m}{s}$