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Maschinenelemente 1 - Das Hooksche Gesetz

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Maschinenelemente 1

Das Hooksche Gesetz

Mittels von Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $ \epsilon $ und Spannung $ \sigma $ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt. Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, d. h. dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. 

Beispiel

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Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung $ (\Delta l) $ zunimmt. 

Hookesches Gesetz

Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang von Spannung und Dehnung im linear-elastischen Bereich.

Methode

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$ \sigma = E \cdot \epsilon \; \; \; \; \; \; \; $                       Hookesches Gesetz 

Hierbei gibt der Elastizitätsmodul $ E $ nichts anderes als die Steigung der Hookeschen Geraden wieder. Er ist eine notwendige Materialgröße zur Beschreibung des elastischen Verhaltens eines Materials. Dabei ist nicht relevant, ob im Zugbereich oder Druckbereich gemessen wird, da der Wert des E-Modul dort identisch ist. Die Einheit des E-Moduls ist Kraft pro Fläche [N/mm²].

Den Elastizitätsmodul kann man aus den Messwerten des Zugversuches berechnen:

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$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \; \; \; \; \; \; \; $                  Elastizitätsmodul

mit

$ \sigma = \frac{F}{A} $   und   $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $

Aufgrund dessen kann man folgende Zusammenhänge bilden:

$ E = \frac{F \, \cdot \, L_0}{A \, \cdot \, \Delta l} $

$ \sigma = E \cdot \epsilon = E \cdot \frac{\Delta l}{L_0} $

$ \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{E \, \cdot \, A} $

Das Produkt aus $ E $ und $ A $ (Elastizitätsmodul mal Querschnitt) wird als Dehnsteifigkeit bezeichnet.

Der Elastizitätsmodul $ E $ ist direkt abhängig vom eingesetzten Werkstoff und entsprechend unterschiedlich. Nachfolgend sind einige typische Werte aufgeführt. 

WerkstoffE-Modul E $ [\frac{N}{mm^2}] $
Stähle$ 1,90 - 2,10 \cdot 10^5 $
Aluminium$ 0,70 - 0,75 \cdot 10^5 $
Titan$ 1,10 - 1,25 \cdot 10^5 $
Grauguss$ 0,8 - 1,20 \cdot 10^5 $

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Die in diesem Kurstext behandelten Grundrechnungen werden dir im späteren Verlauf des Kurses erneut begegnen. Gleiches gilt für die nun folgenden Grundrechnungen zu Druck, Biegung usw.

Beispiel: Berechnung Elastizitätsmodul

Beispiel

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Das Elastizitätsmodul $ E $ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $ d = 10 \, mm $ und einer Anfangsmesslänge $ L_0  = 50 \, mm $ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $ F = 10 \, kN $. Diese Kraft $ F $ führt dazu, dass der Stab sich um $ \Delta l = 0,5 \, mm $ verlängert.

1) Wie groß ist die Zugspannung $ \sigma $?

2) Wie groß ist die elastische Dehnung $ \epsilon $?

3) Welchen Wert besitzt der Elastizitätsmodul $ E $?

1) Berechnung der Zugspannung 

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

Die Querschnittfläche $A_0$ bei einem Rundstab ist kreisförmig und wird berechnet durch:

$A_0 = r^2 \cdot \pi = (\frac{d}{2})^2 \cdot \pi = (5 \, mm)^2 \cdot \pi = 78,54 \, mm^2$

Die Kraft $F$ ist in $kN$ angegeben und wird umgerechnet in $N$:

$F = 10 \, kN = 10.000 \, N$

Die Berechnung der Zugspannung erfolgt dann:

$\sigma = \frac{F}{A_0} = \frac{10.000 \, N}{78,54 \, mm^2} = 127,32 \, N/mm^2$

2) Berechnung der Dehnung

$\epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} = \frac{0,5  \, mm}{50 \; mm} = 0,01 = 1 \, \% $

3) Berechnung des Elastizitätsmoduls

$E = \frac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot \Delta l}$

$E = \frac{10.000 \, N \; \cdot 50 \, mm}{78,54 \, mm^2 \cdot 0,5 \, mm} = 12.732,37 \, N/mm^2$