Partielle Integration

Analysis und Lineare Algebra

1. Rechenregeln für unbestimmte Integrale

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   ... Integration durch Substitution und partielle Integration.

2. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen

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   ... angewandt. Bei dieser ist häufig auch die partielle Integration zu berücksichtigen. Bei dem Integral $\int \sin (\sqrt{x})$ zum Beispiel muss nach der Substitution zunächst die partielle Integration angewandt werden, bevor die Rücksubstitution erfolgen kann. Die partielle Integration wird im nachfolgenden Abschnitt behandelt und es wird gezeigt, wie das Integral gelöst werden kann.

3. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

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   ... Integralen die ein Produkt beinhalten.  Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens. Partielle Integration: $\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$. Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und welcher einfacher zu differenzieren ist. Integriere $\int 6x^2 \cdot \ln|x|dx$. $u´ = 6x^2, ...

4. Partielle Integration bei bestimmten Integralen

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   Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist. Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt: $\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$ Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$. Es gilt: $u´ = e^x \to ...