Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ ...Biegelinie mit Streckenlast
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden wie die Biegelinie bestimmt wird, wenn eine Streckenlast auf den Balken wirkt. Beispiel 1: Bestimmung der DurchbiegungGegeben sei der obige Balken, auf dem eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Biegelinie!Die Formel für die Berechnung der Biegelinie ergibt sich zu:$EIw^{IV} = q(x)$Die Streckenlast ist über die gesamte Balkenlänge konstant, weshalb $q(x) = q_0$:$EIw^{IV} = q_0$IntegrationenEs folgt die 1. ...Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente bestimmt.Beispiel 1: Rechteck mit Achsen durch den SchwerpunktIn der obigen Grafik ist ein Rechteck zu sehen. Die Achsen liegen im Schwerpunkt des Rechtecks. Bestimme die Flächenträgheitsmomente $I_y$, $I_z$ und $I_{yz}$.Wie bereits aus dem Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck:$I_y ...Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
In diesem Abschnitt wird die Vorgehensweise zur Berechnung des Balkens für Einbereichsaufgaben erläutert. Hierzu wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft ...Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente für ein Dreieck bestimmt.Beispiel: DreieckGegeben sei das obige Dreieck mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Die Achsen gehen nicht durch den Schwerpunkt, sondern fallen mit den Seiten des Dreiecks zusammen.Es wird wieder ein infinitesimal kleiner Streifen der Breite $dz$ betrachtet, welcher überall den gleichen Abstand zur $y$-Achse besitzt. Die Länge des Steifens ist nun nicht mehr konstant $b$, ...Balkenverformung infolge von Schub
Schub > Balkenverformung infolge von Schub
In diesem Abschnitt wird auf die Balkenverformung infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik
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Gleichförmige Bewegung
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
In den nun folgenden Abschnitten werden die kinematischen Grundaufgaben betrachtet. Den Anfang macht dabei die gleichförmige Bewegung.Ist die Beschleunigung gleich null, also $a = 0$, so handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. $a = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = 0$.Bestimmung der GeschwindigkeitWill man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung ...Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
In diesem Abschnitt wird die gleichförmig beschleunigte Bewegung betrachtet. Das bedeutet, dass die Beschleunigung konstant ist:$a = const$ und damit $a = a_0$.Bestimmung der Geschwindigkeit Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. $a_0 = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = const$Will man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} ...Beispiel: Senkrechter Wurf
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
Ein Tennisball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 12 m/s$ senkrecht nach oben geworfen. Die $x$-Achse zeigt hierbei von der Anfangslage aus senkrecht nach oben.Welche Höhe erreicht der Ball?Wie lange dauert es, bis der Ball den höchsten Punkt erreicht (Steigzeit)?Wie lange dauert es, bis der Ball wieder zur Ausgangslage zurückkehrt (Wurfzeit)?Die Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ wirkt dem Wurf entgegen. Diese ist nämlich im Gegensatz zur $x$-Achse nach ...Impulssatz
Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Impulssatz
In diesem Abschnitt wird der Impulssatz behandelt. Es folgt ein Beispiel, in welchem die Anwendung des Impulssatzes aufgezeigt wird. Als Alternative wird die Berechnung anhand des Newtonschen Grundgesetzes aufgezeigt.Es wird zunächst wieder das Newtonsche Grundgesetz betrachtet:$F = ma$Wird das Netwonsche Gesetz integriert, so ergibt sich:$\int F = \int ma$Einsetzen von $a = \frac{dv}{dt}$ ergibt:$\int F = \int m \frac{dv}{dt}$Es ergibt sich der Impulssatz zu:$\int_{t_0}^t F \; dt = vm - v_0m$ ...Beispiel: Beschleunigung
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:$a(v) = \frac{dv}{dt}$.Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:$dt = \frac{dv}{a(v)}$Anschließend für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 = \int_{v_0}^v ...Beispiel: Vertikaler Wurf
Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Höhe eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage vertikal nach oben beschleunigt wird. Es wird zunächst anhand des 2. Newtonschen Gesetzes gezeigt, wie sich die Höhe bestimmt und danach anhand des d'Alembertschen Prinzips.Beispiel: Vertikaler WurfEin Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ vertikal nach oben geworfen. Welche Höhe erreicht der Ball, wenn(a) der Luftwiderstand vernachlässigt wird.(b) der Luftwiderstand ...
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Physik
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Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
In den vorherigen Abschnitten ist immer davon ausgegangen worden, dass die Bahnkurve $r(t)$ gegeben ist. Es besteht natürlich ebenfalls die Möglichkeit, dass die Beschleunigung gegeben ist und daraus die Geschwindigkeit und die Bahnkurve bestimmt werden sollen.Es gilt allgemein für die skalare Darstellung:$v(t) = \frac{ds}{dt}$$a(t) = \frac{dv}{dt}$ Bestimmung der Bahngeschwindigkeit aus der BahnbeschleunigungUm nun beispielsweise aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit bestimmen ...Beispiel: Senkrechter Wurf
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
Ein Tennisball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 12 m/s$ senkrecht nach oben geworfen.Senkrechter Wurf eines TennisballsDie $x$-Achse zeigt hierbei von der Anfangslage aus senkrecht nach oben.Welche Höhe erreicht der Ball?Wie lange dauert es, bis der Ball den höchsten Punkt erreicht (Steigzeit)?Wie lange dauert es, bis der Ball wieder zur Ausgangslage zurückkehrt (Wurfzeit)?Die Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ wirkt dem Wurf entgegen. Diese ist nämlich ...Gleichförmige Bewegung
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
In diesem Abschnitt wird die gleichförmige Bewegung betrachtet.Ist die Beschleunigung gleich null, also $a = 0$, so handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. $a = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = 0$.Bestimmung der GeschwindigkeitWill man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} dv = ...Aufgaben-Lösungen-Kinematik
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Aufgaben und Lösungen zur Kinematik > Aufgaben-Lösungen-Kinematik
1.Der Abstand der Sonne zur Erde beträgt 150 Mio Kilometer. Wie lange benötigt das Licht von der Sonne bis zur Erde?SonnenaufgangDie Lichtgeschwindigkeit beträgt $\approx 300.000 \frac{km}{s}$.Es handelt sich hierbei um eine gradlinige Bewegung. Der Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit ist: $v = \frac{dx}{dt}$Umstellung der Formel:$dx = v \cdot dt$Integration:$\int_0^x dx = \int_0^t v dt$$x = v \cdot t$ Umstellen ...Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, wenn die Beschleunigung konstant ist:$a = const$ Bestimmung der Geschwindigkeit $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a \cdot (t - t_0)$Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:$v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$Bestimmung des Ortes$v = \frac{dx}{dt}$.Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} ...
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Analysis und Lineare Algebra
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Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
... Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und welcher einfacher zu differenzieren ist.Integriere $\int 6x^2 \cdot \ln|x|dx$.$u´ = 6x^2, ... -
Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
... angewandt. Bei dieser ist häufig auch die partielle Integration zu berücksichtigen. Bei dem Integral $\int \sin (\sqrt{x})$ zum Beispiel muss nach der Substitution zunächst die partielle Integration angewandt werden, bevor die Rücksubstitution erfolgen kann. Die partielle Integration wird im nachfolgenden Abschnitt behandelt und es wird gezeigt, wie das Integral gelöst werden kann. -
Unbestimmte Integrale
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...
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Technische Mechanik 1: Statik
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Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
In diesem Abschnitt soll die Berechnung der Schnittgrößen (Querkraft, Biegemoment) bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet:Verteilte LastIn der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 ...Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
Aufgabe: Schnittgrößen und SchnittgrößenverläufeGegeben sei der obige Balken, welcher am linken Ende durch eine feste Einspannung gehalten wird. Der Balken wird durch zwei Streckenlasten (dreieckig, rechteckig) belastet. Bestimme die Schnittgrößen und zeichne die Schnittgrößenverläufe.1. Freischnitt und Resultierende der StreckenlastenZunächst schneiden wir den Balken von seinen Lagern frei und bestimmen die Resultierenden der Streckenlasten: Die ...Kontinuierlich verteilte Kräfte
Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
Kontinuierlich verteilte Kräfte liegen vor, wenn eine Kraft über eine bestimmte Strecke gleichmäßig verteilt wird. Die Streckenlast wird bezeichnet mit $q(x)$. Die Streckenlast $q(x)$ hat die Einheit Newton pro Meter [N / m].Angenommen auf ein Carport fällt Schnee und es bildet sich eine Schneedecke, die gleichmäßig auf das Carport verteilt ist. Es liegt also eine Streckenlast vor.StreckenlastIn der obigen Grafik greift die vertikale Streckenlast $q(x)$ an. ...Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
Mit Hilfe der bisherigen Zusammenhänge von Biegemoment, Querkraft und Streckenlast lassen sich die Schnittgrößen auch aus der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich. Die formale Schreibweise ist hierbei:$\ Q = - \int q \; dx + C_1 $, aus $\frac{dQ}{dx} = -q$ (siehe vorherigen Abschnitt)$\ M = \int Q \; dx + C_2$ aus $\frac{dM}{dx} = Q$ ...
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Baustatik 1
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Aufgaben und Lösungen
Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 1: Schnittgrößen und SchnittgrößenverläufeGegeben sei der obige Balken, welcher am linken Ende durch eine feste Einspannung gehalten wird. Der Balken wird durch zwei Streckenlasten (dreieckig, rechteckig) belastet. Bestimme die Schnittgrößen und zeichne die Schnittgrößenverläufe.1. Freischnitt und Resultierende der StreckenlastenZunächst schneiden wir den Balken von seinen Lagern frei und bestimmen die Resultierenden der Streckenlasten: Die ...Dehnung: Aufgaben und Lösungen
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
Beispiel 1: Hängender StabGegeben sei ein hängender Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2})$ mit der Länge $l = 20 cm$, welcher eine konstante Querschnittsfläche $A = 50cm^2$ besitzt. Der Stab hat ein Eigengewicht $G = 10N $.Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ (abhängig vom gewählten Schnitt $x$) und die Längenänderung $\triangle l$? Berechnen Sie außerdem die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes! Bestimmung ...Differentialgleichung der Biegelinie
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
Wirken äußere Momente und/oder Querkräfte auf den Balken, so führt dies zu einer Verformung der Balkenachse aufgrund des auftretenden Moments um die $y$-Achse. Diese Verformung wird als Biegelinie $w(x)$ bezeichnet. Balkenverformung In der obigen Grafik erfolgt die Durchbiegung des Balkens aufgrund einer äußeren Streckenlast in $z$-Richtung. Es handelt sich hier also um eine Querkraftbiegung, welche ein Moment um die $y$-Achse zur Folge hat. Wir wollen ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Exakte Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
Eine exakte Differentialgleichung hat die Form$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$ bzw. $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$mit $p(x,y) = M$ und $q(x,y) = N$Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung$F(x,y) = c$ erfüllt ist.Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$und$\frac{\partial ...Inhomogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht. Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen ...
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Regelungstechnik
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Original- und Bildbereich
LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation > Original- und Bildbereich
Man bezeichnet den Bereich in dem eine mathematische Operation durchgeführt wird als Originalbereich. Transformiert man nun eine gegebene Differenzialgleichung, so wird diese im Bildbereich abgebildet und stellt nun eine einfache algebraische Gleichung dar. Denn im Bildbereich wird eine entsprechende Rechenoperation niederer Ordnung vorgenommen. Zu diesem Zeitpunkt liegt lediglich ein Zwischenergebnis vor, das es zum Ende wieder in den Originalbereich zurück zu transformieren gilt, um ein ...
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- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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