Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    ... = 0 \rightarrow $ Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null.  $\triangle (x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0) \cdot f_{yy}(x_0,y_0) - (f_{xy}(x_0,y_0))^2 > 0 \rightarrow $ Das Produkt der 2. partiellen Ableitung nach $ x $ und $ y $ abzüglich  der Ableitungen der Funktion nach erst nach $ x $ und anschließend $ y $ zum Quadrat ist größer Null.  Ist die Bedingung $\triangle (x_0,y_0) > 0$ erfüllt, dann gilt:  $\ f_{xx}(x_0,y_0) >0 \rightarrow ...
  2. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... Man unterscheidet die partielle Ableitung erster Ordnung von der partiellen Ableitung höherer Ordnung. Auf Beide wird im Folgenden näher eingegangen. 
  3. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt. Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt. Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen.  Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein ...
  5. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden.  Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form $\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $ Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen. Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$ Gegeben ...
  6. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können.  Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, Bernoulli Differentialgleichungen, Ricatti Differentialgleichungen,  und exakte Differentialgleichungen.  Abschließend wird auf den integrierenden ...
  7. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... u = b(x) $ eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese gilt es zu Lösen und zu Rücksubstituieren.  Auch hier soll ein Beispiel helfen den Transformationsprozess besser zu verstehen. Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$ Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden. 1. ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Ableitungen erster Ordnung
    ... aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve. Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert   $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$   existiert und endlich ist. Diesen Grenzwert ...
  2. Ableitungen höherer Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung
    Ableitungen höherer Ordnung
    ... Differenzierens ist identisch mit der Ableitung erster Ordnung und kann für eine Funktion  $n$-ten Grades n-mal durchgeführt werden. Krümmungsverhalten Die 2. Ableitung bestimmt das Krümmungsverhalten der Stammfunktion $ f(x)$ an der Stelle  $x$. Ist die Krümmung positiv, so handelt es sich um eine "Links-Kurve" und ist sie negativ um eine "Rechts-Kurve". Eine Funktion $f $ heißt linksgekrümmt wenn $f''(x) > 0$ und rechtsgekrümmt wenn $f''(x) < 0$. Krümmungsverhalten In ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung
    ... von Termen, die kleiner als von erster Ordnung sind ($dS\frac{d\varphi}{2}$), bleibt: $\ dH = dS $ und $ dN = S d\varphi $. Es ist nicht möglich aus den Gleichungen $H$, $N$ und $S$ zu ermitteln. Das System ist demnach statisch unbestimmt. Es muss also die Grenzhaftung herangezogen werden. Bei dieser kann das Rutschen gerade noch verhindert werden. Die Grenzhaftung wird bestimmt mit: $dH_0 = \mu_0 \cdot dN$ Einsetzen der ermittelten Gleichungen ergibt: $\ dS = \mu_0 \cdot ...
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