Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 ...
  2. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird ...
  3. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ...
  4. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... unterscheidet die partielle Ableitung erster Ordnung von der partiellen Ableitung höherer Ordnung. Auf Beide wird im Folgenden näher eingegangen. 
  5. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
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    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form$y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) ...
  6. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... u = b(x) $eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese gilt es zu Lösen und zu Rücksubstituieren. Auch hier soll ein Beispiel helfen den Transformationsprozess besser zu verstehen.Anwendungsbeispiel: Ricatti DifferentialgleichungLöse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung ...
  7. Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    ... = 0 \rightarrow $ Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null. $\triangle (x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0) \cdot f_{yy}(x_0,y_0) - (f_{xy}(x_0,y_0))^2 > 0 \rightarrow $ Das Produkt der 2. partiellen Ableitung nach $ x $ und $ y $ abzüglich  der Ableitungen der Funktion nach erst nach $ x $ und anschließend $ y $ zum Quadrat ist größer Null. Ist die Bedingung $\triangle (x_0,y_0) > 0$ erfüllt, dann gilt: $\ ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ableitungen höherer Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung
    Krmmungsverhalten
    ... Differenzierens ist identisch mit der Ableitung erster Ordnung und kann für eine Funktion  $n$-ten Grades n-mal durchgeführt werden.KrümmungsverhaltenDie 2. Ableitung bestimmt das Krümmungsverhalten der Stammfunktion $ f(x)$ an der Stelle  $x$. Ist die Krümmung positiv, so handelt es sich um eine "Links-Kurve" und ist sie negativ um eine "Rechts-Kurve".Eine Funktion $f $ heißt linksgekrümmt wenn $f''(x) > 0$ und rechtsgekrümmt wenn $f''(x) ...
  2. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung1
    ... aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert   $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$   existiert und endlich ist. Diesen ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... von Termen, die kleiner als von erster Ordnung sind ($dS\frac{d\varphi}{2}$), bleibt:$\ dH = dS $ und $ dN = S d\varphi $.Es ist nicht möglich aus den Gleichungen $H$, $N$ und $S$ zu ermitteln. Das System ist demnach statisch unbestimmt. Es muss also die Grenzhaftung herangezogen werden. Bei dieser kann das Rutschen gerade noch verhindert werden. Die Grenzhaftung wird bestimmt mit:$dH_0 = \mu_0 \cdot dN$Einsetzen der ermittelten Gleichungen ergibt:$\ dS = \mu_0 \cdot S d\varphi ...
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