erster Ordnung

Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an ...

Für die nachfolgenden Aufgaben soll die Lage der Geraden zueinander (parallel, identisch, windschief, sich schneidend) bestimmt und der Abstand zwischen den Geraden berechnet werden (bei parallelen und windschiefen Geraden).Die Geraden werden in der folgenden Parameterdarstellung angegeben:$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$Aufgabe 1: Lagebeziehung von GeradenGegeben seien die beiden Geraden$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array}\right) ...

Das Spatprodukt stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene, so ergibt ihr Spatprodukt null:$\;\;\;[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] ...

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$Bedingungen für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, ...

Die Addition von zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$ ist definiert durch:$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden. Der resultierende ...

Durch den Abstand $r$ (Radius) vom Koordinatenursprung lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor, der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieden), dann ist die Länge des Vektor größer null: $r > 0$. Wie du in der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher ...

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer  $(n, n)$ - Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Laplaceschen Entwicklungssatz für die i-te Zeile: $A = (a_{ij}) \longrightarrow \; det(A) = \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{i + j} \ a_{ij} \ det (A_{ij})$Laplaceschen Entwicklungssatz für die j-te Spalte: $A = (a_{ij}) \longrightarrow \; det(A) = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + j} \ a_{ij} \ det (A_{ij})$Dabei ist $A_{ij}$ die $(n - 1) \times ...

... exponentielle Glättung erster Ordnung prognostiziert anhand des realen [$ x_t $] und eines prognostizierten Absatzwertes der Gegenwart [ $ S_t  $] den Absatzwert für die Folgeperiode [$ S_{t+1} $]. Zur Gewichtung des Einflusses von realem und prognostizierten Absatzwert der Gegenwart verwendet man einen Glättungsfaktor $\alpha $. $\alpha$ liegt im Intervall $[0, 1]$.  Die exponentielle Glättung erster Ordnung wird mit Hilfe der folgenden Formel ...

Der Johnson-Algorithmus liefert für den 2-Maschinen-Fall eine optimale Reihenfolge der jeweiligen Aufträge, die beide Maschinen in derselben Reihenfolgen durchlaufen. Die Bestimmung der optimale Reihenfolge der Aufträge erfolgt, indem die minimale Bearbeitungszeit als Entscheidungskriterium herangezogen wird. Dies soll anhand eines Beispiels dargestellt werden.Beispiel: Johnson-AlgorithmusGegeben seien folgende Aufträge $A_i$ und ihre Bearbeitungszeiten $p_{ij}$ auf den Maschinen ...

... gegenüber der exponentiellen Glättung erster Ordnung den Vorteil, dass nun auch Trendverläufe berücksichtigt werden. Dh. die bereits einmal geglätteten Werte werden erneuten geglättet. Hierzu stellen wir unsere bisherige Formel ein wenig um:$\ S_{t+1} = \alpha \cdot x_t + (1- \alpha) \cdot S_t  \ \ \ \rightarrow  \ \ \ \ S_{t+1} = \ S_t + \alpha ( x_t - S_t) $Nach dieser Umstellung, führen wir nun zuerst eine exponentielle Glättung erster Ordnung ...

Flow-Shop-Probleme entstehen immer dann, wenn Aufträge auf verschiedenen nachgelagerten Maschinen bearbeitet werden sollen, die Maschinenreihenfolge der einzelnen Aufträge jedoch gleich ist. D.h. also, dass alle Aufträge die gleichen Maschinen in der gleichen Reihenfolge durchlaufen müssen. Dies birgt das Problem, dass einzelne Aufträge andere Aufträge während der Fertigung nicht überholen können.Ein Flow-Shop-Problem liegt vor, ...

Das Wagner-Whitin-Verfahren dient der Bestimmung der optimalen Losgröße. Hierbei wird neben dem Bedarf in den jeweiligen Perioden auch die Rüstkosten und die Lagerhaltungskosten berücksichtigt. Ziel des Wagner-Whitin-Verfahrens ist es diese Kosten zu minimieren und dadurch die optimale Losgröße zu ermitteln. Es folgt nun ein Beispiel für ein dynamisches Losgrößenmodell, dass mit Hilfe des Wagner-Whitin-Verfahrens gelöst werden soll.Einem Metallverarbeitungsunternehmen ...

Job-Shop-Probleme treten besonders in der Werkstattfertigung auf. Es gilt eine Reihenfolge von Arbeitsgängen für die Aufträge an den Maschinen zu bestimmen. Hierzu können bisher bekannte Verfahren, wie das Wagner-Within-Verfahren angewandt werden. Eine andere aber durchaus einfachere Lösungsmöglichkeit besteht in der Aufstellung von Prioritätsregeln, die für jeden einzelnen Arbeitsplatz festzulegen sind. Ein Job-Shop-Problem liegt vor, wenn für ...

Das Verfahren nach Groff macht sich die Tatsache zum Nutzen, dass beim Kostenminimum zusätzlich anfallende Lagerhaltungskosten (Zusammenfassung von Bedarfen) gleich der Rüstkostenersparnis sind. Das bedeutet also, dass die zusätzliche Lagerhaltungskosten, die durch eine Erhöhung der Losgröße entstehen, der Rüstkostenersparnis gegenübergestellt werden. Denn es gilt, je größer ein Los, desto höher die Lagerhaltungskosten und desto geringer die ...

In diesem Abschnitt soll nochmals zusammegefasst werden, wie eine optimale Lösung mittels der unterschiedlichen Simplexverfahren gewonnen werden kann, wenn ein Minimierungsproblem gegeben ist. Liegt ein Minimierungsproblem vor, so kann dieses entweder in ein Maximierungsproblem dualisiert werden oder mittels Umformungsregeln in ein Maximierungsproblem ungeformt werden. Vorgehen ohne Dualisierung1. Wird das Minimierungsproblem nicht dualisiert, so muss dieses mittels der Umformungsregeln ...

Nachdem das Tableau für das lineare Optimierungsproblem im vorherigen Abschnitt aufgestellt worden ist, soll nun die erste Iteration für das primale Simplexverfahren durchgeführt werden. Für jede Iteration müssen die folgenden Schritte durchgeführt werden:Wahl der Pivotspalte t: Enthält die untere Zeile, in welcher die Werte aus der Zielfunktion eingetragen werden, nur nicht-negative Werte, so ist die optimale Lösung gefunden. Ansonsten wird diejenige Spalte ...

In diesem Abschnitt soll nochmals zusammegefasst werden, wie eine optimale Lösung mittels der unterschiedlichen Simplexverfahren gewonnen werden kann, wenn ein Maximierungsproblem gegeben ist. 1. Das gegebene Maximierungsproblem muss in die Standardform umgeformt werden (Kleiner/Gleich-Nebenbedingungen, Nichtnegativtitätsbedingung). Die Umformungsregeln lauten:Ersetzen von $x_j$, welche keiner Nichtnegativitätsbedingung unterliegt, durch $x_j^+ \ge $ und $x_j^- \ge $, wobei gilt ...

Der primale Simplexalgorithmus geht wie folgt vor:Ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis schreitet dieser durch Basisaustausch zu einer Ecke mit besserem Zielfunktionswert fort.Da es nur endlich viele Ecken gibt, wird nach endlich vielen Schritten die optimale Lösung erreicht.Der Basistausch geschieht dabei so sparsam wie möglich: Es wird stets genau eine Basisvariable gegen eine Nichtbasisvariable ausgetauschtDas Simplexverfahren findet in einem sogenannten Simplex-Tableau ...

Häufig ist der Fall gegeben, dass sich eine Bewegung aus einer gleichförmigen und einer gleichförmig beschleunigten Bewegung zusammensetzt. Um sich diesen Fall besser vorstellen zu können, betrachten wir ein parkendes Auto. Wir wollen mit unserem Auto in die Stadt fahren. Der Weg zur Stadt sei gradlinige und der gesamte Weg habe eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h. Wir müssen unser Auto also zunächst auf die 50 km/h beschleunigen, um dann mit der konstanten Geschwindigkeit ...

Die Addition von Vektoren ist Gegenstand dieses Abschnittes. Sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, so bestimmt sich die Addition der beiden Vektoren wie folgt:Addition: $\vec{a} + \vec{b} =  \left( \begin{array}{c} a_x + b_x \\ a_y + b_y \\ a_z + b_z \\ ... \\ a_n + b_n \end{array} \right)$Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen $x$-,$y$- und $z$-Werte der einzelnen Vektoren miteinander addiert.Die Vekoraddition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge in welcher die Vektoren ...

Die spezifische Wärmekapazität von Gasen hängt von den äußeren Bedingungen ab. Es wird zwischen der spezifischen Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochorer Prozess) und der spezifischen Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobarer Prozess) unterschieden. Um die spezifische Wärmekapazität herleiten zu können, führen wir die kalorische Zustandsgleichung ein.Die kalorische Zustandsgleichung (nicht zu verwechseln mit ...

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Schnittgrößenbereiche mit der Föppl-Klammer darstellt. Die Föppl-Klammer ist eine vereinfachte Schreibweise für die Schnittgrößen. Es handelt sich hierbei um eine von August Föppl eingeführte Schreibweise, welche von Ingenieuren übernommen worden ist. Die Föppl-Klammer wird formal geschrieben zu:$\langle x-a \rangle^n = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < a \\ \langle ...

Im Folgenden sollen die Schnittgrößen eines Balkens bestimmt werden. Betrachtet werden in diesem Fall nur Kräfte, die senkrecht zur Längsachse $ Q $ wirken, sowie Momente $ M $, die auf den Balken wirken. Zusatz: Die letzten drei Videos unten auf dieser Seite zeigen auch die Bestimmung der Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:Festlegung ...

Haben wir mehrere in einer Ebene verlaufende Einzelkräfte gegeben (Größe und Richtung), so können wir diese Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammenfassen, der sogenannten Resultierenden. Schneiden sich alle Einzelkräfte in einem einzigen Punkt, dann verläuft auch die Resultierende durch diesen Punkt (zentrales Kräftesystem). Schneiden sich die Einzelkräfte hingegen nicht alle in einem Punkt, so muss die Lage der Resultierenden zusätzlich bestimmt ...

In diesem Abschnitt setzt Du Dich intensiver damit auseinander, wie Energie als Begriff zu definieren ist, in welchen Formen Energie auftritt und was aus dem Prinzip der Energieerhaltung unter besonderer Berücksichtigung der Energieform Wärme folgt. Du bist in der Lage, die Grundbilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik darzustellen und kannst diese auf einfache praktische Fälle anwenden. Dazu lernst Du, für einen konkreten Sachverhalt das passende thermodynamische System ...

Der Modellstoff ideales Gas eröffnete die Möglichkeit, Zustandsänderungen und die Prozessgrößen Wärme und Arbeit mit einfachen Formeln zu analysieren.Der allgemeine Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen F (p,V,T) = 0 gilt für Flüssigkeiten und Dämpfe gleichfalls. Leider sind die zugehörigen Zustandsgleichungen so umfangreich und kompliziert aufgebaut, dass man sie nur mit Hilfe eines Computers auswerten kann. ...

Die stoffbezogenen Beziehungen zwischen den thermischen Zustandsgrößen werden von Ingenieuren auf drei verschiedene Weisen untersucht. Eine erste Arbeitsmethode besteht in der rein rechnerischen Auswertung einer gegebenen Zustandsgleichung. Ein Beispiel dafür haben wir schon mit der Grundgleichung für ideales Gas kennengelernt. Für mathematisch komplizierter aufgebaute Zustandsgleichungen greift man auf Tafeln, in denen die Zustandsgrößen tabelliert sind, und/oder ...

Der Johnson-Algorithmus liefert für den 2-Maschinen-Fall eine optimale Reihenfolge der jeweiligen Aufträge, die beide Maschinen in derselben Reihenfolgen durchlaufen. Die Bestimmung der optimale Reihenfolge der Aufträge erfolgt, indem die minimale Bearbeitungszeit als Entscheidungskriterium herangezogen wird. Dies soll anhand eines Beispiels dargestellt werden.Beispiel: Johnson-AlgorithmusGegeben seien folgende Aufträge $A_i$ und ihre Bearbeitungszeiten $p_{ij}$ ...

Flow-Shop-Probleme entstehen immer dann, wenn Aufträge auf verschiedenen nachgelagerten Maschinen bearbeitet werden sollen, die Maschinenreihenfolge der einzelnen Aufträge jedoch gleich ist. D.h. also, dass alle Aufträge die gleichen Maschinen in der gleichen Reihenfolge durchlaufen müssen. Dies birgt das Problem, dass einzelne Aufträge andere Aufträge während der Fertigung nicht überholen können.Ein Flow-Shop-Problem liegt ...

Voraussetzung für die Anwendung des dualen Simplex-Verfahrens:Es muss die Standardform vorliegen (Maximierungsproblem, Kleiner/Gleich-Nebenbedingung, Nichtnegativitätsbedingung)Die Standardform muss dann in die Normalform überführt werden (Gleichheitsbedingung) mittels Einführung von Schlupfvariablen.Es liegen negative Koeffizienten auf der Rechten-Seite der Nebenbedingungen vor ($b_i \le 0$).Das duale Simplexverfahren wird angewandt, wenn das Optimierungsproblem ...

Wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt, sind die Spannungen $\sigma_{x^*}, \; \sigma_{y^*}$ und $\tau_{x^*, y^*}$ abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe ...

Das Ergebnis des Zugversuchs (vorheriger Abschnitt) kann innerhalb eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms veranschaulicht werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm dient hauptsächlich der Charakterisierung eines Materials hinsichtlich Festigkeit, Plastizität und Elastizität. Es hat sich dabei durchgesetzt, dass die Spannung [in $\frac{N}{mm^2} $] über die Dehnung [dimensionslos] aufgetragen wird. Das bedeutet, dass die Spannung $\sigma$ auf der Ordinate aufgetragen ...

Die im vorherigen Abschnitt gezeigten Methoden zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen $\triangle l$ auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am ...

... $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 ...

... = 0 \rightarrow $ Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null. $\triangle (x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0) \cdot f_{yy}(x_0,y_0) - (f_{xy}(x_0,y_0))^2 > 0 \rightarrow $ Das Produkt der 2. partiellen Ableitung nach $ x $ und $ y $ abzüglich  der Ableitungen der Funktion nach erst nach $ x $ und anschließend $ y $ zum Quadrat ist größer Null. Ist die Bedingung $\triangle (x_0,y_0) > 0$ erfüllt, dann gilt: $\ ...

In diesem Kapitel erläutern wir dir ausführlich die unterschiedlichen Typen von Reglern. Wir beginnen dabei mit dem Zweipunktregler und dem Dreipunktregler.ZweipunktreglerEinen Zweipunktregler kennzeichnet, dass er lediglich zwei Zustände annehmen kann. Die Regelung AN und AUS ist äußerst einfach weshalb sie den simpelsten Reglertyp darstellt. Man spricht von einer diskreten Regelung. Der Zweipunktregler kommt immer dann zum Einsatz, wenn die Regelung ...

Bevor wir nun mit unserer Beispielaufgabe beginnen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse zusammen:Eine Differenzialgleichung stellt den Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße eines regelungstechnischen Übertragungselements her. Die Lösung der Differenzialgleichungen erfolgt durch die Überlagerung der Teillösungen $ x_{ah} (t) $ und $ x_{ap}(t) $.Nachfolgend siehst Du die schematische Darstellung einer Widerstand-Kondensator-Schaltung, ...

In diesem Kurstext behandeln wir das Stirnradgetriebe mit 6 Gängen, so wie es in den meisten Fahrzeugen zu finden ist. Das Kupplungsmoment wird beim Stirnradgetriebe formschlüssig über ein Keilwellenprofil auf die Getriebeeingangswelle übertragen.Aufbau des StirnradgetriebesIn der nächsten Abbildung siehst du eine Abbildung dieser Getriebeart:Stirnradgetriebe Die Vorlegewelle, oder auch Zwischenwelle genannt, wird durch die Stirnradverzahnung angetrieben. Die Zahnräder ...

Anders als beim Stirnradgetriebe verwendet man beim Doppelkupplungsgetriebe zwei Vorlegewellen.Doppelkupplungsgetriebe Durch jeweils eine Kupplung ($ K_1, K_2 $) kann der Kraftfluss zwischen Motor und den beiden Stirnrädern, welche die Vorlegewellen antreiben, unterbrochen werden. Beim Anfahren im ersten Gang schaltet man zuerst die Stirnräder des ersten Gangs und anschließend wird die Kupplung $ K_2 $ geschlossen. In der nächsten Abbildung siehst du die schematische ...

Das Schmieden ist eine Verfahrensart, die sich in Freiformschmieden und Gesenkschmieden unterteilt. FreiformschmiedenDie simplere Variante ist dabei das Freiformschmieden. Hier erfolgt die Bearbeitung mit sehr simplen Werkzeugen, die nur in geringem Umfang der letztlich gewünschten Form und Abmessung der fertigen Schmiedestücke entspricht. Daher wird immer nur eine Teilfläche des Werkstücks bearbeitet, dh. Abschnitt für Abschnitt. Anzutreffen ist diese Schmiedeart mit ...

In diesem Kurstext wird sowohl das Verfahren der Hydrometallurgie und der Pyrometallurgie vorgestellt sowie deren Unterschiede verdeutlicht. Eine Betrachtung der Schmelzflusselektrolyse erfolgt dann im nachfolgenden Kurstext.  HydrometallurgieHydrometallurgie (Becken) zur Zinkgewinnung Bei der Hydrometallurgie erfolgt die Gewinnung des gewünschten Metalls durch die Reaktion mit einer Flüssigkeit. Diese Flüssigkeit kann entweder Ammoniak oder -wie es meistens der Fall ist- ...

Wir haben im vorangegangenen Abschnitt die Differentialgleichung der Biegelinie 2. und 4. Ordnung hergeleitet. Die dort aufgestellte Differentialgleichung gibt die Durchbiegung des Balkens in Abhängigkeit von $x$ an. Hierbei ist allerdings nur der reine Biegeanteil berücksichtigt worden. Wirken Querkräfte auf den Balken, so treten Schubspannungen auf, welche ebenfalls dazu führen, dass sich der Balken verformt. Wir betrachten in diesem Abschnitt also den Beitrag des ...

Das Ergebnis des Zugversuchs kann innerhalb eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms veranschaulicht werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm dient hauptsächlich der Charakterisierung eines Materials hinsichtlich Festigkeit, Plastizität und Elastizität. Es hat sich dabei durchgesetzt, dass die Spannung [in $\frac{N}{mm^2} $] über die Dehnung [dimensionslos] aufgetragen wird. Das bedeutet, dass die Spannung $\sigma$ auf der Ordinate ...

In einem der vorangegangenen Kurstexte haben wir Ihnen eine Auswahl von Säuren und Basen in Tabellenform aufgeführt. Anhand dieser Tabelle möchten wir Ihnen nun den Unterschied zwischen  einprotonigen, zweiprotonigen und dreiprotonigen Säuren aufzeigen.Zur Erinnerung:SummenformelGegenionSäurenbezeichnung$ HCl $$ Cl^{-} $Chlorwasserstoff (Salzsäure)$ HClO_3 $$ ClO_3^{-} $Chlorsäure$ HClO_2 $$ ClO_2^{-} $Chlorige Säure$ HF $$ F^{-}$Flusssäure$ H_2SO_4 ...

Baustoffe/Werkstoffe sind in ihrer Grundform (Steine, Holz) schon wesentlich älter als die Menschheit und haben eine besondere Bedeutung für die kulturelle, technologische und wirtschaftliche Entwicklung der Menschheit. Es ist somit nicht verwunderlich, dass bestimmte Zeitepochen den Namen der Werkstoffe tragen, die in dieser Zeit entdeckt und verbreitet eingesetzt wurden. Hierzu zählen: Steinzeit (jung, alt), Kupferzeit (früh, mittel, alt), Kupferzeit, Eisenzeit Geht ...

... (Zylinderfunktionen) nullter und erster Ordnung und stellen ihrerseits unendliche Reihen dar! Die Auswertung der Gleichungen für den Zylinder mit einem Taschenrechner ist zu aufwendig!Kugel$\Theta (\xi , Fo,Bi) = \sum \limits_{k=i}^{\infty} 2 \frac{sin(\mu_k) - \mu_k \cdot cos(\mu_k)}{\mu_k - sin(\mu_k) \cdot cos(\mu_k)} \cdot \frac{sin(\mu_k \cdot \xi)}{\mu_k \cdot \xi} \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$Eigenwerte  μk für Randbedingungen erster Art: Gleichung lösen ...

In diesem Abschnitt wird die ebene Bewegung in Polarkoordinaten am Sonderfall der Kreisbewegung aufgezeigt.Der Sonderfall einer ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung. Bei dieser ist $r =const$ und der Basisvektor $e_{\varphi}$ besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$. In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist ...

Es besteht ein Zusammenhang zwischen der magnetischen Flussdichte $ B $ und der magnetischen Feldstärke $ H $. Da diese Vorgänge äußerst umfangreich und nicht weniger kompliziert sind, werden wir dir in diesem Kurstext zumindest die Grundlagen der Hysterese näher erläutern. HystereseBei der Untersuchung von ferromagnetischen Werkstoffen hat sich herausgestellt, dass die Permeabilität $ \mu $ nicht konstant, jedoch direkt von der magnetischen Feldstärke ...

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm dient hauptsächlich der Charakterisierung eines Materials hinsichtlich Festigkeit, Plastizität und Elastizität. Hierzu bedient man sich des bereits beschriebenen Zugversuchs. Es hat sich dabei durchgesetzt, dass die Spannung [in $\frac{N}{mm^2} $] über die Dehnung [Dimensionslos] aufgetragen wird. Ferner unterscheidet man die technische Spannungs-Dehnungs-Kurve von der wahren ...

Damit eine Schraubenverbindung allen Belastungen standhalten kann muss im ersten Schritt der richtige Werkstoff ausgewählt werden. WerkstoffauswahlEinige Anforderungskriterien an den Schraubenwerkstoff sollten dir bereits bekannt sein. So richtet sich die Auswahl in erster Linie nachder notwendigen Montagekraft $ F_M $ und der auftretenden Betriebslast $ F_A $. Beide bilden zusammen die Schraubenkraft $ F_S $. Der ausgewählte Werkstoff muss demnach fest genug sein, dass die Schraubenkraft ...