Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Definition von Lagern

Technische Mechanik 1: Statik

Definition von Lagern

Lager kennzeichnen sich primär dadurch, dass sie ein Tragwerk, wie beispielsweise einen Balken, Bogen oder Rahmen, mit ihrer Umgebung verbinden. Über diese Verbindung [Lager] können zwei weitere Eigenschaften erfüllt werden:

1. Das Tragwerk wird durch Lager in der gewünschten Position in der Ebene bzw. im Raum gehalten und

2. mithilfe der Lager können Kräfte übertragen werden. 

Schon jetzt zeigt sich die besondere Stellung von Lagern für die Gestaltung von Tragwerken. 

Auch hier gilt nach wie vor das Wechselwirkungsgesetz. Zur Erinnerung:

Merke

Hier klicken zum AusklappenKräfte, die von Tragwerken über Lager auf die Umgebung wirken, haben auch die betragsmäßig gleiche Wirkung von der Umgebung über Lager auf die Tragwerke [actio = reactio].

Die Kräfte, welche von der Umgebung auf ein Tragwerk wirken, bezeichnet man sinniger Weise als Reaktionskräfte und in Bezug auf Lager als Lagerreaktionen. Ihre Kennzeichnung folgt der Bezeichnung der Lager. 

So wird beispielsweise die Reaktionskraft eines Lagers $ A $ auch mit dem Buchstaben $ A $ gekennzeichnet. 

Im Gegensatz zu Tragwerken in der Ebene, die mit ihrer Umgebung verbunden sind, besitzen bindungslose Tragwerke 3 Freiheitsgrade. Freiheitsgrade stehen für die Bewegungsmöglichkeiten des Tragwerks in horizontaler und vertikaler Richtung sowie einer Drehung in der Ebene.

Sobald ein Tragwerk über ein Lager mit der Umgebung verbunden ist, wird die Bewegungsmöglichkeit eingeschränkt. Die Anzahl der Lagerreaktionen $ r $ kann demnach maximal die Anzahl der Freiheitsgrade $ f $ annehmen. Für die Bestimmung der Freiheitsgrade verwendet man folgende Gleichung:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$ f = 3 - r $                                       Bestimmung der Freiheitsgrade

Kann beispielsweise ein Lager zwei Lagerreaktionen übertragen, besitzt das Lager nur noch einen Freiheitsgrad, d.h. nur noch eine Bewegungsmöglichkeit in der Ebene.

Die Klassifizierung der Lager erfolgt ebenfalls anhand der übertragbaren Lagerreaktionen: 

1. Einwertige Lager:

In diesem Fall kann das Lager lediglich eine Reaktion übertragen und besitzt noch zwei Freiheitsgrade $ \rightarrow f = 3 - r = 3 - 1 = 2 $. Typische einwertige Lager sind Gleitlager oder Stützstäbe. Oft bezeichnet man diesen Lagertyp aufgrund der verbliebenen zwei Freiheitsgrade als Loslager. Ein Loslager mit der Bezeichnung $A$ kann eine Lagerreaktion übertragen. Dieses Lager kann nur Kräfte senkrecht zu seiner Bewegungsmöglichkeit übertragen:

Loslager
Einwertiges Lager

Das obige rechte Loslager $A$ überträgt nur eine Lagerreaktion senkrecht zu seiner Bewegungsmöglichkeit. Die zwei Striche gegeben an, dass es sich hier um ein Loslager handelt, welches horizontal verschieblich ist. Damit können nur vertikale Kräfte übertragen werden.

2. Zweiwertige Lager:

Wie die Bezeichnung bereits erahnen lässt, können zweiwertige Lager auch zwei Lagerreaktionen übertragen. Es verbleibt lediglich ein Freiheitsgrad $ \rightarrow f = 3 - r = 3 - 2 = 1 $. Kugellager sowie Doppelstützen sind typische Vertreter von zweiwertigen Lagern. Kugellager werden in der Fachliteratur oft auch als Festlager bezeichnet, da sie zwar eine Drehung, jedoch keinerlei Verschiebung zulassen. 

Festlager
Zweiwertiges Lager

Bei zweiwertigen Lagern wie dem Festlager, wird die Lagerkraft in eine vertikale und horizontale Komponente unterteilt. In der Freihandskizze hat ein Festlager mit der Bezeichnung $ B $ eine vertikale Komponente $ B_v $ und eine horizontale Komponente $ B_h $.

Eine andere Lagervariante ist beispielsweise die Schiebehülse, sie besitzt zwar eine vertikale, jedoch keine horizontale Komponente der Lagerkraft. Zudem ist es mit der Schiebehülse möglich Momente zu übertragen. Somit handelt es sich bei der Schiebehülse um ein zweiwertiges Lager mit einem horizontalen Freiheitsgrad. 

zweiwertiges Lager - Schiebehülse
Zweiwertiges Lager

Die obige Schiebehülse $C$ kann eine horizontale Komponente $C_h$ und ein Moment $M_C$ übertragen.

3. Dreiwertiges Lager:

Ein dreiwertiges Lager besitzt keine Freiheitsgrade mehr $ \rightarrow f = 3 - 3 = 0 $. Ein Stab, welcher in die Wand eingespannt wird, besitzt keine Bewegungsmöglichkeit mehr. Es können sowohl horizontale, als auch vertikale Reaktionskräfte sowie ein Drehmoment übertragen werden.

Dreiwertiges Lager - Einspannung
Dreiwertiges Lager

Die obige feste Einspannung $D$ überträgt eine vertikale Komponente $D_h$, eine vertikale Komponente $C_v$ und ein Moment $M_C$.

Lagerreaktionen und Gleichgewichtsbedingungen

Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. In der Ebene stehen die drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\sum F_{ix} = 0$                 horizontale Gleichgewichtsbedingung

$\sum F_{iy} = 0$                 vertikale Gleichgewichtsbedingung

$\sum M_i = 0$                      Momentengleichgewichtsbedingung

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung können die horizontalen Lagerkräfte berechnet werden, aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung die vertikalen Auflagerkräfte und aus der Momentengleichgewichtsbedingung die Einspannmomente.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen können drei unbekannte Lagerkräfte berechnet werden.