Reelle Zahlen

Analysis und Lineare Algebra

1. Reelle Zahlen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen

   

   Reelle Zahlen umfassen sowohl die rationalen Zahlen (als Bruch darstellbar; endlich oder periodisch) sowie die irrationalen Zahlen (nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen). Also $\mathbb{R}$ = $\mathbb{Q}$ + $\mathbb{I}$Die irrationalen Zahlen werden häufig geschrieben zu:$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ (reelle Zahlen ohne rationale Zahlen).Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind $\sqrt{2} = 1,4142...$ und die ...

2. Bezeichnung reeller Zahlen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Bezeichnung reeller Zahlen

   Reelle Zahlen können bestimmten Beschränkungen (Restriktionen) unterliegen. Sie haben deshalb zusätzliche Bezeichnungen. In der folgenden Tabelle kannst du diese sehen:Reelle Zahlen$\mathbb{R}= \{ x | x \; \text{ist eine rationale oder irrationale Zahl} \}$             reelle Zahlen ohne Null$\mathbb{R}^*= \{ x | x \neq 0 \; \text{und} \; x \in \mathbb{R} \}$   positivereelle Zahlen (inkl. Null)$\mathbb{R}_+ = \{ x | x  \ge 0 \; \text{und} ...

3. Fakultät und Binomialkoeffizienten

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten

   

   ... unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.Das Video wird geladen...(hm1-7-fakultaet-und-binominalkoeffizient)

4. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

   Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

   ... -> Wurzel aus negativer Zahl für reelle Zahlen nicht möglich$\Longrightarrow$ Es liegen keine weiteren reellen Nullstellen vor.Das bedeutet, es existiert eine reelle Nullstelle bzw. ein Eigenwert der Matrix $A$. Bei der gegebenen $n \times n = 3 \times 3$-Matrix ist also die Anzahl der Nullstellen geringer als $n$.Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom sich nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

5. Definition von komplexen Zahlen

   Komplexe Zahlen > Definition von komplexen Zahlen

   

   Wie wir bereits im Kapitel "Reelle Zahlen" beschrieben haben, existieren neben rationalen Zahlen auch irrationale Zahlen, welche unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzen. Die reellen Zahlen berücksichtigen allerdings noch nicht alle möglichen Zahlen. So ist zum Beispiel die $\sqrt{-1}$ keine rationale oder irrationale Zahl. Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt. Dies liegt daran, dass das Quadrieren jeder reellen (positiven oder negativen) Zahl ...

6. Logarithmusfunktionen

   Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Logarithmusfunktionen

   ... sind nur für positive reelle Zahlen sowie für alle positive Basen außer $1$ definiert:$x \in \mathbb{R^+} \;$ und $\; b \in \mathbb{R^+} \; \vert b \neq 1$Möchten wir das Monotonieverhalten der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen, müssen wir darauf achten, ob die Basis zwischen $0$ und $1$ liegt oder größer als $1$ ist.Für alle $b > 1$ gilt:Die Funktion ist streng monoton wachsend.$\lim\limits_{x \to + \infty} log_b(x) = + ...

Elektrotechnik

1. Komplexe Zahlen und Darstellungsformen

   Wechselstrom > Wechselstromkreise > Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen > Komplexe Zahlen und Darstellungsformen

   

   ... Zahlenebene sind auf der waagerechten Achse reelle Zahlen abgetragen und auf der senkrechten Achse imaginäre Zahlen. Die imaginären Zahlen sind definiert mit $\ j = \sqrt{-1} $. Mit Hilfe dieser und der reellen Zahlen lassen sich komplexe Zahlen $ \underline{z} $ durch einen Punkt $ P $, einen Pfeil oder einem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt P darstellen. Hierbei unterscheiden wir zwei mathematische Darstellungsarten:Gaußsche Zahlenebene Komponentenform und ExponentialformKomponentenformBei ...

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