Analysis und Lineare Algebra
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Definition von komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen > Definition von komplexen Zahlen
Wie wir bereits im Kapitel "Reelle Zahlen" beschrieben haben, existieren neben rationalen Zahlen auch irrationale Zahlen, welche unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzen. Die reellen Zahlen berücksichtigen allerdings noch nicht alle möglichen Zahlen. So ist zum Beispiel die $\sqrt{-1}$ keine rationale oder irrationale Zahl. Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt. Dies liegt daran, dass das Quadrieren jeder reellen (positiven oder negativen) Zahl ... -
Bezeichnung reeller Zahlen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Bezeichnung reeller Zahlen
Reelle Zahlen können bestimmten Beschränkungen (Restriktionen) unterliegen. Sie haben deshalb zusätzliche Bezeichnungen. In der folgenden Tabelle kannst du diese sehen:Reelle Zahlen$\mathbb{R}= \{ x | x \; \text{ist eine rationale oder irrationale Zahl} \}$ reelle Zahlen ohne Null$\mathbb{R}^*= \{ x | x \neq 0 \; \text{und} \; x \in \mathbb{R} \}$ positivereelle Zahlen (inkl. Null)$\mathbb{R}_+ = \{ x | x \ge 0 \; \text{und} ...Reelle Zahlen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen
Reelle Zahlen umfassen sowohl die rationalen Zahlen (als Bruch darstellbar; endlich oder periodisch) sowie die irrationalen Zahlen (nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen). Also $\mathbb{R}$ = $\mathbb{Q}$ + $\mathbb{I}$Die irrationalen Zahlen werden häufig geschrieben zu:$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ (reelle Zahlen ohne rationale Zahlen).Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind $\sqrt{2} = 1,4142...$ und die ...Formelsammlung
Formelsammlung
... Reelle Zahlen$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$ + irrationale Zahlen z.B. $\pi$, $\sqrt{2}$... Unterscheidung von MengenBezeichnungBeispielLösungleere Menge$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 5 = 0 \}$$A = \{\emptyset\}$nicht leere Menge$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 16 = 0 \}$$A = \{-4,4 \}$endliche Menge$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 < 10\}$$A = \{1,2,...,6 \}$unendliche Menge$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + ...Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
In diesem Abschnitt zeigen wir dir Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen auf.WICHTIG: Bei der Multiplikation/Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung ...abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel
Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel
Die abc- und die pq-Formel sind wichtige Instrumente zur Lösung quadratischer Gleichungen, also dem Auffinden von Nullstellen eines Polynoms.Die abc-FormelDie allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:allgemeine Form der quadratischen Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0$mit:$a \neq 0$ $ax^2$ = quadratisches Glied $bx$ = lineares Glied $c$ = konstantes Glied (oder Absolutglied)Ist $b = 0$, dann sprechen wir von einer reinquadratischen Gleichung.Die Lösungen dieser Gleichung berechnen ...Einführung in die Mengenlehre
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Einführung in die Mengenlehre
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.So beschrieb im Jahre 1895 der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) die primäre Eigenschaft einer Menge. Kugeln lassen sich nach Kriterien in Mengen unterteilen Als Menge wird eine Ansammlung von Elementen bezeichnet. Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z. B. $\mathbb{A}, \mathbb{B}, ...Linearkombination von Vektoren
Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.$\vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n}$ Dabei sind $\vec{a_i}$ die Vektoren, $\lambda_i$ die reellen Zahlen und $\vec{v}$ der Ergebnisvektor.Der Vektor $\vec{v}$ ist eine Linearkombination aus den obigen Vektoren $\vec{a_i}$.Darstellung eines Vektors als Linearkombination Wir wollen ...Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
... -> Wurzel aus negativer Zahl für reelle Zahlen nicht möglich$\Longrightarrow$ Es liegen keine weiteren reellen Nullstellen vor.Das bedeutet, es existiert eine reelle Nullstelle bzw. ein Eigenwert der Matrix $A$. Bei der gegebenen $n \times n = 3 \times 3$-Matrix ist also die Anzahl der Nullstellen geringer als $n$.Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom sich nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.Schranken (Supremum, Infimum)
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Schranken (Supremum, Infimum)
Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.Obere und untere SchrankeEine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn $M \subseteq (-\infty, b]$ mit $b \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $b$ eine obere Schranke von $M$. Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn $M \subseteq [a, \infty)$ mit $a \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $a$ eine untere Schranke von $M$. Eine Menge ...Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.Nullstellen einer Polynomfunktion 3. GradesDort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$. Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale ...Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
Definition: VektorraumDie Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.Addition von VektorenEine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$, dann muss es möglich sein, ihre ...Logarithmusfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Logarithmusfunktionen
... sind nur für positive reelle Zahlen sowie für alle positive Basen außer $1$ definiert:$x \in \mathbb{R^+} \;$ und $\; b \in \mathbb{R^+} \; \vert b \neq 1$Möchten wir das Monotonieverhalten der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen, müssen wir darauf achten, ob die Basis zwischen $0$ und $1$ liegt oder größer als $1$ ist.Für alle $b > 1$ gilt:Die Funktion ist streng monoton wachsend.$\lim\limits_{x \to + \infty} log_b(x) = + ...Grenzwerte von Funktionen
Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.Grenzwert einer reellen Funktion $f$ für $x$ gegen $x_0$: $\;\; \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:$x_0 \in \mathbb{R}$: ...Ganzrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
Definition einer ganzrationalen FunktionEine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale ...Beträge
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Beträge
DefinitionDer Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$ ist definiert durch:$\begin{equation} |x| = \begin{cases} a & \text{falls } \; a \ge 0 \\ -a & \text{falls } \; a < 0 \end{cases} \end{equation}$Die Werte zwischen den Betragsstrichen können sowohl positiv als auch negativ sein. Die Betragsstriche bedeuten mathematisch nichts anderes als die Aufforderung, bei der Zahl oder dem Term schlicht die Vorzeichen nicht zu berücksichtigen.Der Betrag ...Fakultät und Binomialkoeffizienten
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
... unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.Das Video wird geladen...(hm1-7-fakultaet-und-binominalkoeffizient)Wurzelfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Wurzelfunktionen
Die Wurzelfunktion ist eine algebraische, jedoch nichtrationale Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.Die allgemeine Form der Wurzelfunktion lautet:allgemeine Wurzelfunktion: $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \;\;\;\; | x \in \mathbb{R}^+_0 \;$ und $\; n \in \mathbb{N}$Wir bezeichnen$\sqrt[n]{x} \;$ als Wurzel, Radikal oder Radix,$n \;$ als Wurzelexponent und$x \;$ als Radikand.Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ hebt das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ auf. Wenn ...Grundrechenarten der komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
Addition bzw. Subtraktion komplexer ZahlenZur Ermittlung der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen $z = x + i \cdot y$ und $w = c + i \cdot v$ addiert bzw. subtrahiert man jeweils den Realteil und den Imaginärteil getrennt (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):Addition: $z + w := (x + c) + i (y + v)$ Subtraktion: $z - w := (x - c) + i (y - v)$Multiplikation komplexer ZahlenDie Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$) entspricht ...Identische Geraden
Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden
Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$Bedingungen für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, ...Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.IntervalleGegeben seien die folgenden Intervalle der reellen Zahlen:a) offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$b) rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$c) links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$d) geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$e) das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$f) das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$Gib bitte diese als Klammerausdruck und in ...Beispiele: Vollständige Induktion
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Vollständige Induktion > Beispiele: Vollständige Induktion
In diesem Beispiel zeigen wir einige Beispiele für die Anwendung der vollständigen Induktion.Beispiel 1 zur vollständigen InduktionDie Gaußsche Summenformel stellt einen einfachen Fall von vollständiger Induktion dar:Aussage: $1 + 2 + 3.... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ (Die Herleitung dieser Formel ist hierbei irrelevant).Prüfe diese Aussage mittels vollständiger Induktion!Die linke Seite der obigen Aussage ist nichts anderes alls die Summe der natürlichen ...
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung
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Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung
Wärmeleitung in einem Feststoff > Instationäre Wärmeleitung > Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung
Zur Bestimmung der Temperatur in der Mitte des betrachteten Körpers und an der Oberfläche zu einer bestimmten Zeit $t$ können verschiedene Diagramme herangezogen werden. Für diese Diagramme werden dimensionlose Kennzahlen benötigt, welche in diesem Abschnitt aufgeführt werden sollen.Die dimensionlose Temperaturdifferenz ergibt sich zu:$ \Theta = \frac{T(x,t) – T_{\infty}}{T_A – T_{\infty}}$mit$T(x,t)$ Temperatur zu einer bestimmten Zeit $t$$T_{\infty}$ Umgebungstemperatur$T_A$ ...Nußelt-Zahl für querangeströmte Rippenrohre
Erzwungene Konvektion > Rippenrohre > Nußelt-Zahl für querangeströmte Rippenrohre
In diesem Abschnitt werden die Nußelt-Zahlen für querangeströmte Rippenrohrbündel aufgezeigt. Sind die Nußelt-Zahlen bestimmt, kann daraus die Wärmeübergangszahl $\alpha_R$ bestimmt werden zu:$\alpha_R = \frac{Nu_{R, L_ü} \cdot \lambda}{L_ü}$mit$Nu_{R, L_ü}$ Nußelt-Zahl$\lambda$ Wärmeleitfähigkeit des Fluids$L_ü$ ÜberströmungslängeDie Nußelt-Zahl für querangeströmte Rippenrohrbündel kann wie ...Reynolds-Zahl und Prandtl-Zahl
Erzwungene Konvektion > Reynolds-Zahl und Prandtl-Zahl
Die Wärmeübergangszahl für die erzwungene Konvektion, deren Bestimmung Ziel dieses Kapitels ist, ist wie bereits erwähnt abhängig von der Strömungsgeschwindigkeit bzw. der Art der Strömung sowie von der Geometrie des umströmten oder durchströmten Körpers und der Richtung des Wärmestroms (Heizen oder Kühlen des Fluids). In den vorherigen Abschnitten ist aufgezeigt worden, dass die Grenzschichtströmung in eine laminare und in eine turbulente ...Nußelt-Zahl
Erzwungene Konvektion > Nußelt-Zahl
Nachdem nun alle relevanten Größen für die Bestimmung der Wärmeübergangszahl $\alpha$ eingeführt worden sind, wird in diesem Abschnitt die dimensionslose Wärmeübergangszahl $Nu$ eingeführt. Die Nußelt-Zahl wurde nach dem deutschen Physiker Wilhelm Nußelt (1882 - 1957) benannt. Nußelt begründete die Ähnlichkeitstheorie der Wärmeübertragung. Die Ähnlichkeitstheorie besagt allgemein , dass aus einem bereits ...Freie Konvektion
Freie Konvektion
In diesem Kapitel wird die freie Konvektion behandelt. Bei der erzwungenen Konvektion resultierte die Strömung aufgrund von Druckdifferenzen, welche durch äußere Einflüsse (z.B. Punmpen) hervorgerufen werden. Bei der freien Konvektion hingegen entsteht die Strömung aufgrund von Temperaturunterschieden im Fluid. Man betrachte ein ruhendes Fluid mit einer konstanten Temperatur. Kommt das ruhende Fluid nun mit einer Oberfläche (ebene Platte, Rohrwand, Hohlkugelwand) ...Richtung des Wärmestroms
Erzwungene Konvektion > Rohrströmungen (kreisförmig) > Richtung des Wärmestroms
Die Wärmeübertragung wird durch die Richtung des Wärmestroms (Kühlen oder Heizen des Fluids) beeinflusst, da die Stoffwerte temperaturabhägig sind. Die Richtung des Wärmestroms muss also bei der Berechnung der Nußelt-Zahlen die in den vorherigen Abschnitten aufgeführt worden sind mit berücksichtigt werden.Bei der Kühlung des Fluids erfolgt der Wärmestrom von Fluid auf die Wand. Beim Heizen des Fluids erfolgt der Wärmestrom von der Wand ...Ebene Platte
Erzwungene Konvektion > Ebene Platte
In diesem Abschnitt soll die Längsströmung an einer ebenen Platte aufgezeigt werden.In der folgenden Grafik ist eine ruhende ebene Platte zu sehen, über welche ein Fluid fließt. Das Fluid weist eine Strömungsgrenzschicht und eine Temperaturgrenzschicht auf (siehe ausführlich Abschnitt: Strömungs- und Temperaturgrenzschicht). Für unterschiedliche Prandtl-Zahlen $Pr$ ergeben sich auch unterschiedliche Dicken der Grenzschichten. Zum Beispiel ist für eine ...Quer angeströmte Zylinder (Rohre)
Erzwungene Konvektion > Quer angeströmte Zylinder (Rohre)
In diesem Abschnitt werden umströmte Einzelkörper betrachtet und die Nußelt-Zahlen für diese angegeben. Es wird dabei der Strömungsverlauf um einen Zylinder (Rohr) dargestellt.Wie bereits in der Strömungslehre behandelt, bildet sich am Staupunkt $0°$ eine laminare Grenzschicht. Abhängig von der Geometrie des Körpers sowie von der Strömungsgeschwindigkeit kann diese dann in eine turbulente Strömung übergehen, d.h. es entstehen Strömungsablösungen. Die ...Freie Konvektion an geneigter ebener Wand
Freie Konvektion > Freie Konvektion an geneigter ebener Wand
Bei der freien Konvektion an eben geneigten Wänden muss zum einen zwischen der Richtung des Wärmestroms unterschieden werden, wird das Fluid also gekühlt oder erwärmt, und zwischen der Wärmeabgabe an der oberen oder unteren Seite der Wand. Bei der Wärmeabgabe an der unteren Wandseite liegt die Grenzschicht entlang der ebenen Wand an, hingegen löst sich diese bei der Wärmeabgabe an der oberen Seite nach einer bestimmten Länge ab. Es werden die ...Freie Konvektion an horizontaler Wand
Freie Konvektion > Freie Konvektion an horizontaler Wand
In diesem Abschnitt soll die freie Konvektion an einer horizontalen Wand bzw. Fläche betrachtet werden. Hierbei müssen (wie bei der eben geneigten Wand) die folgenden Fälle unterschiedenen werden:(1) Wärmeabgabe von Wand an das Fluid an der oberen Seite der horizontalen Wand (beheizte Wand).(2) Wärmeaufnahme der Wand vom Fluid an der unteren Seite der horizontalen Wand (gekühlte Fläche).(3) Wärmeabgabe von Wand an das Fluid an der unteren Seite der horizontalen ...Nußelt-Zahl für Überschlagsberechnungen
Erzwungene Konvektion > Rohrströmungen (kreisförmig) > Nußelt-Zahl für Überschlagsberechnungen
Häufig reicht es aus, wenn man zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten bei turbulenten Strömungen Überschlagsberechnung anwendet. Die mittleren Nußelt-Zahlen können dann laut VDI-Wärmeatlas (2013, S.789) wie folgt bestimmt werden (nach Gnielinski):$Nu_{d_i, turb} = 0,0214 \cdot (Re^{0,8} - 100) \cdot Pr^{0,4} \cdot (1 + (\frac{d_i}{l})^{2/3})$gültig für$0,5 \le Pr \le 1,5$und zu:$Nu_{d_i, turb} = 0,012 \cdot (Re^{0,87} - 280) \cdot Pr^{0,4} ...Nußelt-Zahl für laminare Rohrströmungen
Erzwungene Konvektion > Rohrströmungen (kreisförmig) > Nußelt-Zahl für laminare Rohrströmungen
In diesem Abschnitt wird zunächst die laminare Rohrinnenströmung betrachtet. Es wird aufgezeigt, wie die Nußelt-Zahl $Nu_{d_i}$ bestimmt werden kann. Aus der Nußelt-Zahl kann dann die Wärmeübergangszahl $\alpha$ berechnet werden mit:$\alpha = \frac{Nu_{d_i} \cdot \lambda}{d_i}$mit$Nu_{d_i}$ Nußelt-Zahl$\lambda$ Wärmeleitfähigkeit des Fluids$d_i$ Innendurchmesser des RohrsBei der Durchströmung von Rohren muss bei der Bestimmung der Reyndols-Zahl ...Freie Konvektion an gekrümmten Flächen
Freie Konvektion > Freie Konvektion an gekrümmten Flächen
Die freie Konvektion bei gekrümmten Flächen soll in diesem Abschnitt behandelt werden. Hierbei werden die Wände vonHohlzylindern (Rohre)Hohlkugeln undRippenrohrebetrachtet. HohlzylinderDie Nußelt-Zahl für den Zylinder bei der freien Konvektion kann man laut VDI-Wärmeatlas (2013, S. 759 ff) berechnen zu:$Nu_{L_ü} = (0,752 + 0,387 \cdot [Ra \cdot f_3(Pr)]^{1/6})^2$mit$f_3(Pr) = [1 + (\frac{0,559}{Pr})^{9/16}]^{-16/9}$$Ra = Gr_{L_ü} \cdot Pr$gültig ...Ringspalte
Erzwungene Konvektion > Ringspalte
Bei Ringspalte ist das Verhältnis von Innendurchmesser $d_i$ und Außendurchmesser $d_a$ heranzuziehen. Ringspalte kommen beispielsweise bei Wärmeübertragern (siehe späteren Abschnitt: Wärmeübertrager) zur Anwendung. Es handelt sich hierbei um zwei Rohre. Ein Innenrohr, welches durch ein Außenrohr umgeben ist. Dabei fließt z.B. ein Fluid durch das Innenrohr und ein Fluid im Ringspalt zwischen dem Innen- und dem Außenrohr.Strömt im ...Nußelt-Zahl für turbulente Rohrströmungen
Erzwungene Konvektion > Rohrströmungen (kreisförmig) > Nußelt-Zahl für turbulente Rohrströmungen
Es wird als nächstes die turbulente Rohrströmung betrachtet. Eine voll ausgebildete turbulente Rohrströmung liegt vor, wenn die Reynoldszahl den Wert $Re > 10^4$ annimmt. Auch hier wird für die charakterstische Länge $L$ der Innendurchmesser des Rohrs $d_i$ verwendet.Die Anlaufstrecke, bis die Strömung turbulent voll ausgebildet ist beträgt:$10 \cdot d_i$Nußelt-Zahl bei voll ausgebildeter turbulenter StrömungDie mittlere Nußelt-Zahl kann laut ...
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Regelungstechnik
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Besonderheiten
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten $ a_i $ der charakteristischen Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha ...Homogene Differenzialgleichungen
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
Unter den Grundannahmen des vorherigen Textes wenden wir uns jetzt der Lösung der homogenen Differenzialgleichung zu.Im ersten Schritt stellen wir eine homogene Differenzialgleichung auf:Homogene Differenzialgleichung: $ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot \frac{d^{0} x_a}{dt^{0}} = 0 $ Der letzte Term auf der linken Seite wird gekürzt ...Übertragungsfunktion
Frequenzgang > Übertragungsfunktion
Nun möchten wir die Frequenzgangfunktion aus einer Übertragungsfunktion ermitteln und umgekehrt.Dabei ist der Frequenzgang wie folgt definiert:Frequenzgang: $ F (j\omega) = G(s)|_{s = j\omega} $Die Gleichung besagt, dass der Frequenzgang der Wert der Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse ist.Aus diesem Grund ist es zulässig, dass wir das imaginäre Argument des Frequenzgangs $ F (j \omega) $ um einen reellen Wert $ \sigma $ ergänzen.Somit liefert uns das ...Physikalische Systeme
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Physikalische Systeme
Wie Du bereits weißt, wird der Zusammenhang zwischen einer Eingangsgröße und einer Ausgangsgröße in einem Regelungssystem durch eine nichtlineare Differenzialgleichung dargestellt. Die Lösung einer solchen Gleichung ist jedoch meist sehr aufwendig.Im Rahmen dieses Kurses werden wir daher zur Vereinfachung das System im Arbeitspunkt untersuchen, womit die Linearisierung der Differenzialgleichungen stark vereinfacht wird. Als Ergebnis erhalten wir eine lineare Differenzialgleichung ...Ähnlichkeitssatz
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Ähnlichkeitssatz
Mit dem Ähnlichkeitssatz kann die unbekannte LAPLACE-Transformierte einer Zeitfunktion unter Kenntnis der LAPLACE-Tranformierten einer anderen Zeitfunktion berechnet werden. Mit dem Ähnlichkeitssatz lassen sich die Bildvariablen berechnen, wenn die Variable $ t $ mit einer Konstanten multipliziert wird. Die Bedingung hierfür ist, dass die Konstante $ a > 0 $ und reell ist.Ähnlichkeitssatz - Formal Die Gleichung für die LAPLACE-Transformierte ist wie folgt:Ähnlichkeitssatz: $ ...
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Elektrotechnik
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Komplexe Zahlen und Darstellungsformen
Wechselstrom > Wechselstromkreise > Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen > Komplexe Zahlen und Darstellungsformen
... Zahlenebene sind auf der waagerechten Achse reelle Zahlen abgetragen und auf der senkrechten Achse imaginäre Zahlen. Die imaginären Zahlen sind definiert mit $\ j = \sqrt{-1} $. Mit Hilfe dieser und der reellen Zahlen lassen sich komplexe Zahlen $ \underline{z} $ durch einen Punkt $ P $, einen Pfeil oder einem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt P darstellen. Hierbei unterscheiden wir zwei mathematische Darstellungsarten:Gaußsche Zahlenebene Komponentenform und ExponentialformKomponentenformBei ... -
Komplexe Spannungen und Ströme
Wechselstrom > Wechselstromkreise > Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen > Komplexe Spannungen und Ströme
Nachdem wir uns mit den Grundlagen der komplexen Zahlen vertraut gemacht haben, wollen wir uns nun den komplexen Spannungen und Strömen zuwenden. Komplexe Spannungen und StrömeWir wenden die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene auf die komplexe Darstellung der Spannungs- und Stromzeiger an. Hierbei ordnet man die komplexen Spannungs- und Stromebenen wie im nachfolgenden Bild an.Dabei verlaufen die positiven reellen Achsen nach rechts [+] und die positiv imaginären ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. Lipschitzbedingung (global)$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ für alle $(x, y_1), \; ...Partielle Ableitung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
Die meisten wirtschaftlichen und wissenschaftlichen Vorgänge sind von mehreren Parametern abhängig und werden deshalb dementsprechend mathematisch modelliert. Es ergeben sich Funktionen von mehreren reellen Variablen. Um jedoch aus diesem Modell die Funktion einer Veränderlichen zu erhalten ist es notwendig sich auf einen der Parameter zu konzentrieren, der als unabhängige Variable angesehen wird und alle übrigen Parameter als konstant anzusehen. Dieses Vorgehen nennt ...
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Fertigungslehre
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Verfahrensstufe 1: Konstruktion und Formgebung
Urformen > Verfahrensstufen der Gießereitechnologie > Verfahrensstufe 1: Konstruktion und Formgebung
KonstruktionBevor überhaupt mit dem Schmelzen der Eingangsstoffe begonnen wird, gilt es, eine Konstruktionszeichnung zu erstellen, in der alle notwendigen Angaben für das später zu erzeugende Formteil aufgeführt sind. Dies beinhaltet folgende Angaben:Größe des ModellsGestalt des ModellsGröße der KerneGestalt der KerneSitzstellen loser TeileAngaben der FormteilungLage des Modells in der FormBearbeitungsangabenSchrägen zum anschließenden Ausheben ...
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Strömungslehre
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Moody-Diagramm
Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!Hydrodynamik > Reibungsbehaftete Strömungen > Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige) > Moody-Diagramm
In diesem Abschnitt wird das Moody-Diagramm eingeführt, um zu zeigen wie man die Rohrreibungszahl $\lambda$ aus diesem Diagramm ablesen kann. Im vorherigen Abschnitt wurde die Rohrreibungszahl $\lambda$ eingeführt. Diese wird benötigt, wenn ein Fluid durch ein Rohr strömt. Innerhalb dieser Rohrreibungszahl werden die Eigenschaften des Fluids (kinematische Zähigkeit) und die Rohrbeschaffenheit (äquivalente Sandrauigkeit) berücksichtigt. Zur besseren Übersicht ...
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Anorganische Chemie für Ingenieure
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Beispiel zum Aufstellen einer Reaktionsgleichung
Chemisches Rechnen, Grundrechenarten > Beispiel zum Aufstellen einer Reaktionsgleichung
In diesem Beispiel zeigen wir Ihnen wie man eine Reaktionsgleichung korrekt aufstellt. Hier reagieren Ammoniak und Sauerstoff zu Wasser und Stickstoffgas. Dabei müssen wir schrittweise die stöchiometrischen Zahlen ergänzen, damit die Reaktionsgleichung auch für das Gesetz der Erhaltung der Masse gilt.Wir fangen damit an, die einzelnen Stoffe, also die Edukte und Produkte aufzuführen:Edukte: Ammoniak $ NH_3 $ und Sauerstoff $O_2 $Produkte: Wasser $ H_2O $ und Stickstoffgas ...
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Mechanische Verfahrenstechnik
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Durchführung der Dimensionenanalyse
Dimensionsanalyse, Grundgrößen, Einheiten, Systeme > Durchführung der Dimensionenanalyse
Passend zur mechanischen Verfahrenstechnik führen wir eine Dimensionsanalyse durch, bei der wir die Antriebsleistung $ P $ eines Rührwerks bestimmen möchten.Rührwerk Die Ermittlung der Leistung mit Hilfe der Dimensionsanalyse umfasst sieben Teilschritte:Durchführung einer Dimensionsanalyse in sieben Schritten1. Relevanten Einflussgrößen ermittelnIm ersten Schritt ermitteln wir die Größen, die in unseren späteren Berechnungen notwendig sind. ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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