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Temperaturabhängigkeit von Widerständen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Der spezifische Widerstand $\rho $ in einem elektrischen Stromkreis ist von zwei Faktoren abhängig. Ein Faktor ist der Werkstoff aus dem der Leiter hergestellt wurde. Das Material des Widerstandes kann beispielsweise aus Kupfer, Wolfram, Silber, Gold oder einem anderen leitfähigen [elektrischer Strom $ \rightarrow $ relevante Leitfähigkeit] Werkstoff bestehen und hat direkten Einfluss auf die Leitfähigkeit des Widerstandes. Die Leitertemperatur $\vartheta $, also der andere Faktor, führt dazu, dass mit zunehmender Temperatur die Leitfähigkeit abnimmt und der spezifische Widerstand entsprechend zu nimmt.

Die allgemeine Gleichung für den Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur hat die Form:

Methode

Widerstand: $ R_{\vartheta} =\rho_{\vartheta} \cdot \frac{l}{A} $

Um den Wert $\varrho_{\vartheta} $ bei einer gegebenen Leitertemperatur $ \vartheta $ zu beschreiben, verwendet man folgende lineare Beziehung:

Methode

Spezifischer Widerstand: $\rho_{\vartheta} = \rho_{20} \cdot ( 1 + \alpha_{20} \cdot \Delta \vartheta_{20}) $

Die Werte $\rho_{20} $, also bei einer Temperatur von 20 °C und die Temperaturkoeffizienten können Sie entsprechenden Tabellen entnehmen. Der Temperaturunterschied $ \Delta \vartheta_{20} $ wird formal beschrieben durch:

Methode

Temperaturunterschied: $\Delta \vartheta_{20} = \vartheta - 20 ° C $.

Setzt man nun die Gleichung für den spezifischen Widerstand in die Gleichung darüber ein, so erhält man:

Methode

Widerstand: $ R_{\vartheta} = \rho_{20} \frac{l}{A} (1 + \alpha_{20} \Delta \vartheta_{20})$ 

Der Term $\rho_{20} \frac{l}{A} $ beschreibt den Widerstand bei eine Bezugstemperatur von $ 20 °C $ $\rightarrow R_{20} $

$ R_{20} = \rho_{20} \frac{l}{A} $ 

Dadurch wird unsere obige Gleichung zu:

Methode

$ R_{\vartheta} = R_{20} (1 + \alpha_{20} \Delta \vartheta_{20}) $.
Anwendungsbeispiel:

Beispiel

Mit Hilfe eines Kupferdrahtes wird eine Erregerwicklung hergestellt. Der Draht hat eine Länge von 1000 m und einen Durchmesser von 1,3 mm. Berechnen Sie den Widerstand der Erregerwicklung bei 20° C und im Anschluss daran für eine Temperatur von 75 °C. 

1. Der spezifische Widerstand $\rho_{20} $ kann einem Tabellenwerk entnommen werden und beträgt für den Werkstoff Kupfer:

$\rho_{20} = 0,01786 \frac{\Omega mm^2}{m} $

2. Die notwendigen geometrischen Größen sind die Länge $ l $ , die gegeben ist mit 1000 m und die Fläche $ A $, die sich mit der Kreisgleichung bestimmen lässt $\rightarrow A = \pi \cdot \frac{d^2}{4} \rightarrow A = \pi \cdot 1,3^2 \frac{mm^2}{4} = 1,33 mm^2 $

3. Unseren Widerstand für eine Temperatur von 20 °C können wir anschließend durch Einsetzen der Werte bestimmen:

$ R_{20} = 0,01786 \frac{\Omega mm^2}{m} \cdot \frac{1000 m}{1,33 mm^2} = 13,43 \Omega $

4. Fehlt nun noch der Widerstand für eine Temperatur von 75 °C:

Unseren Wert für $\alpha_{20} $ können wir erneut dem Tabellenwerk entnehmen und dieser beträgt $\alpha_{20} = 0,00392 \frac{1}{°C}$. Mit diesem und den anderen Werten erhalten wir unter Verwendung der Gleichung $ R_{\vartheta} = R_{20} (1 + \alpha_{20} \Delta \vartheta_{20}) $:

$\ R_{75} = \ 13,43 \Omega (1 + \frac{0,00392}{°C} \cdot (75-20) °C) = 13,43 \Omega (1 + 0,00392 \cdot 55) = 16,33 \Omega $
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Eine Erregerwicklung aus Wolfram besitzt eine Drahtlänge von $10m$. Dazu ist vorgegeben, dass derWiderstand für eine Temperatur von $20°$ genau $2,112\Omega $ betragen muss. Der spezifische Widerstand $\rho_{20} $ beträgt $ 0,0528 \frac{\Omega mm^2}{m} $. Dadurch ergibt sich ein Drahtquerschnitt von $mm^2$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Temperaturabhängigkeit von Widerständen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Elektrotechnik.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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