Systematische und statistische Messfehler

Mathematischer Fehler

Bei jeder Messung können Fehler auftreten. Es werden grundsätzlich die folgenden zwei Messfehler unterschieden:

Der systematische Fehler

Diese Fehler treten auf, wenn beispielweise der falsche Maßstab verwendet wird. Wird in der Berechnung zum Beispiel 1 Meter angegeben, aber in Wahrheit handelt es sich um 0,9 Meter, so ergibt sich bei der Berechnung ein Fehler. Alle Messungen ergeben dann einen Wert, welcher um einen konstanten Faktor von der Wahrheit abweicht. Außerdem treten systematische Fehler auf, wenn Effekte unberücksichtigt bleiben, wie zum Beispiel Magnetfelder, Luftwiderstände oder andere. 
Systematische Abweichungen erzeugen also eine Verschiebung nach einer Seite und bewirken einen in der Tendenz stets zu hohen oder stets zu niedrigen Messwert. Um systematische Fehler zu minimalisieren muss das Messsystem, also die Versuchsapparatur geändert werden und/oder es müssen numerische Korrekturen des Messergebnisses angestellt werden.

Der statistische Fehler

Statistische Fehler treten durch zufällige positive oder negative Abweichungen beim Messen auf. Wird beispielsweise eine Spannungsmessung durchgeführt und die Spannung ist zeitlich nicht konstant sondern schwankt um einen mittleren Wert, so entsteht ein statistischer Fehler, wenn bei der Berechnung der Mittelwert der Spannung angegeben wird. Je häufiger ein Messvorgang wiederholt wird, desto geringer wird dessen statistische Messunsicherheit.

Statistische Fehler werden wie folgt behandelt:

Es wird zunächst die Messung einer Größe $x$ betrachtet. Der Mittelwert ergibt sich durch:

Ist der experimentelle Mittelwert $\overline{x}$ bekannt, so kann man die Abweichungen der einzelnen Messergebnisse vom Mittelwert bestimmen:

$|\overline{x} - x_i|$

Die Betragsstriche geben an, dass hier nur der Wert der Abweichung zählt, nicht in welche Richtung diese geht. 

Aus numerischen Gründen nimmt man statt der Differenzbeträge die Differenzquadrate:

$(\overline{x} - x_i)^2$

Es kann nun die Standardabweichung der Stichprobe $s$definiert werden:

Die Standardabweichung gibt den mittleren statistischen Fehler einer Einzelmessung an. Die Einführung der Wurzel erfolgt damit die resultierende Größe $s$ die gleiche Einheit wie die Messgröße besitzt und somit mit ihr vergleichbar wird.

Die Division durch $(n - 1)$ anstelle von $n$ erfolgt, weil bei nur einer Messung $n = 1$ keine statistische Aussage gemacht werden kann, das heißt $s$ undefiniert ist. 

Anwendungsbeispiel: Messfehler

Der Mittelwert wird bestimmt zu:

$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1} ^n x_i$

Wir setzen als nächstes die $n = 8$ Messergebnisse in die Formel ein:

$\overline{x} = \frac{1}{8} (5,4 mm + 5,2mm + 5,5mm + 5,4mm + 5,6mm + 5,3mm + 5,4mm + 5,3mm)$

$\overline{x} = = 5,3875 mm = 5,4mm$

Der Mittelwert wurde kaufmännisch aufgerundet, d.h. ab einer 5 nach der betrachteten Zahl wird aufgerundet. Hier wurde deshalb auf eine Nachkommastelle aufgerundet, weil die Messdaten ebenfalls mit einer Nachkommastelle angegeben werden.

Als nächstes betrachten wir die Standardabweichung der Stichprobe:

$s = \sqrt{\frac{1}{8-1} [(5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,2)^2 + (5,4 - 5,5)^2 + (5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,6)^2 + (5,4-5,3)^2 + (5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,3)^2]}$     

$s = \sqrt{\frac{1}{8-1} [(5,4 - 5,2)^2 + (5,4 - 5,5)^2  + (5,4 - 5,6)^2 + (5,4 - 5,3)^2  + (5,4 - 5,3)^2]}$    

$s = 0,1 mm$

Die Standardabweichung wurde kaufmännisch abgerundet, d.h. unter einer 5 nach der betrachteten Zahl wird abgerundet. Hier wurde deshalb auf eine Nachkommastelle abgerundet, weil die Messdaten ebenfalls mit einer Nachkommastelle angegeben werden.