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Physik - Systematische und statistische Messfehler

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Physik

Systematische und statistische Messfehler

Mathematischer Fehler
Mathematischer Fehler

Bei jeder Messung können Fehler auftreten. Es werden grundsätzlich die folgenden zwei Messfehler unterschieden:

Der systematische Fehler

Diese Fehler treten auf, wenn beispielweise der falsche Maßstab verwendet wird. Wird in der Berechnung zum Beispiel 1 Meter angegeben, aber in Wahrheit handelt es sich um 0,9 Meter, so ergibt sich bei der Berechnung ein Fehler. Alle Messungen ergeben dann einen Wert, welcher um einen konstanten Faktor von der Wahrheit abweicht. Außerdem treten systematische Fehler auf, wenn Effekte unberücksichtigt bleiben, wie zum Beispiel Magnetfelder, Luftwiderstände oder andere. 
Systematische Abweichungen erzeugen also eine Verschiebung nach einer Seite und bewirken einen in der Tendenz stets zu hohen oder stets zu niedrigen Messwert. Um systematische Fehler zu minimalisieren muss das Messsystem, also die Versuchsapparatur geändert werden und/oder es müssen numerische Korrekturen des Messergebnisses angestellt werden.

Beispiel

Angenommen ein Lineal liegt für längere Zeit in der prallen Sonne, so erwärmt es sich und dehnt sich aus. Wenn nun eine Messung durchgeführt wird, so misst man statt 1 cm immer eine kürzere Länge. Es wird mit diesem Lineal also immer zu kurz gemessen. Den Fehler kann man beheben, indem man die Messung nochmals mit einem anderen Lineal durchführt. Viele Messungen sind aber sehr kompliziert und ein nochmaliges Wiederholen wäre sehr zeitintensiv. So ist es sinnvoller den Fehler zu beheben, indem dieser in die bereits durchgeführten Messungen einfließt. Bei dem Lineal müsste man nun also die Temperatur bei der Messung kennen und den thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Lineals (z.B. Kunststoff). Die systematische Abweichung wird nun im Messmodell berücksichtigt und dadurch unschädlich gemacht.

Der statistische Fehler

Statistische Fehler treten durch zufällige positive oder negative Abweichungen beim Messen auf. Wird beispielsweise eine Spannungsmessung durchgeführt und die Spannung ist zeitlich nicht konstant sondern schwankt um einen mittleren Wert, so entsteht ein statistischer Fehler, wenn bei der Berechnung der Mittelwert der Spannung angegeben wird. Je häufiger ein Messvorgang wiederholt wird, desto geringer wird dessen statistische Messunsicherheit.

Statistische Fehler werden wie folgt behandelt:

Es wird zunächst die Messung einer Größe $x$ betrachtet. Der Mittelwert ergibt sich durch:

Methode

$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1} ^n x_i$                       experimenteller Mittelwert

mit

$\overline{x}$ Mittelwert

$n$ Anzahl der Werte

$x_i$ Messwert

Ist der experimentelle Mittelwert $\overline{x}$ bekannt, so kann man die Abweichungen der einzelnen Messergebnisse vom Mittelwert bestimmen:

$|\overline{x} - x_i|$

Die Betragsstriche geben an, dass hier nur der Wert der Abweichung zählt, nicht in welche Richtung diese geht. 


Aus numerischen Gründen nimmt man statt der Differenzbeträge die Differenzquadrate:

$(\overline{x} - x_i)^2$

Es kann nun die Standardabweichung der Stichprobe $s$definiert werden:

Methode

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{n = 1}^n (\overline{x} - x_i)^2}$           Standardabweichung der Stichprobe

Die Standardabweichung gibt den mittleren statistischen Fehler einer Einzelmessung an. Die Einführung der Wurzel erfolgt damit die resultierende Größe $s$ die gleiche Einheit wie die Messgröße besitzt und somit mit ihr vergleichbar wird.

Die Division durch $(n - 1)$ anstelle von $n$ erfolgt, weil bei nur einer Messung $n = 1$ keine statistische Aussage gemacht werden kann, das heißt $s$ undefiniert ist. 

Anwendungsbeispiel: Messfehler

Beispiel

Der Durchmesser eines Seils soll gemessen werden. Die 8 Messungen liefern die folgenden Messergebnisse:

$5,4 mm$, $5,2mm$, $5,5mm$, $5,4 mm$, $5,6 mm$, $5,3 mm$, $5,4 mm$, $5,3 mm$.

Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung!

Der Mittelwert wird bestimmt zu:

$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1} ^n x_i$

Wir setzen als nächstes die $n = 8$ Messergebnisse in die Formel ein:

$\overline{x} = \frac{1}{8} (5,4 mm + 5,2mm + 5,5mm + 5,4mm + 5,6mm + 5,3mm + 5,4mm + 5,3mm)$

$\overline{x} = = 5,3875 mm = 5,4mm$

Der Mittelwert wurde kaufmännisch aufgerundet, d.h. ab einer 5 nach der betrachteten Zahl wird aufgerundet. Hier wurde deshalb auf eine Nachkommastelle aufgerundet, weil die Messung ebenfalls mit einer Nachkommastelle durchgeführt wurde.

Als nächstes betrachten wir die Standardabweichung der Stichprobe:

$s = \sqrt{\frac{1}{8-1} [(5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,2)^2 + (5,4 - 5,5)^2 + (5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,6)^2 + (5,4-5,3)^2 + (5,4 - 5,4)^2 + (5,4 - 5,3)^2]}$     

$s = \sqrt{\frac{1}{8-1} [(5,4 - 5,2)^2 + (5,4 - 5,5)^2  + (5,4 - 5,6)^2 + (5,4 - 5,3)^2  + (5,4 - 5,3)^2]}$    

$s = 0,1 mm$

Die Standardabweichung wurde kaufmännisch aufgerundet, d.h. unter einer 5 nach der betrachteten Zahl wird abgerundet. Hier wurde deshalb auf eine Nachkommastelle abgerundet, weil die Messung ebenfalls mit einer Nachkommastelle durchgeführt wurde.

Merke

Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Streuung der einzelnen Messwerte um einen Mittelwert ist.