Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Kurseinführung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Kurseinführung
    ... im ebenen Raum und mehrdimensionalen Raum, Funktionen mehrerer Veränderlicher sowie der gewöhnlichen Differentialrechnung einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen der Darstellungsarten ebener Kurven vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themen eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, ...
  3. Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Spirale im Raum
    ... Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. $\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$, wobei $\alpha $ für die Raumkurve steht.Eine Spirale im Raum hat beispielsweise die Parameterdarstellung:$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\ 0,5 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 6\pi$Grafische DarstellungGrafisch sieht das wie folgt aus:Spirale im Raum
  4. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ...
  5. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn$(x_0, y_0) \in D_f$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.In Worten: Eine Funktion ...
  6. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... mathematisch modelliert. Es ergeben sich Funktionen von mehreren reellen Variablen. Um jedoch aus diesem Modell die Funktion einer Veränderlichen zu erhalten ist es notwendig sich auf einen der Parameter zu konzentrieren, der als unabhängige Variable angesehen wird und alle übrigen Parameter als konstant anzusehen. Dieses Vorgehen nennt man auch Ceteris Paribus. Jedoch kann anhand des Verhalten einer Variable nichts über die Gesamtwirkung gesagt werden, wodurch ...
  7. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist : $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $.Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist : $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.Da bei der partiellen Ableitung nach $\ x$ die Therme ohne $\ x$ als Konstanten gelten, fallen sie beim Ableiten ...
  8. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... - was ist das?Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B. $f(x)$) gegeben, so gibt die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ an, wie sich der Funktionswert verändert, wenn von der Stelle $x_0$ aus einen kleinen Schritt nach links oder nach rechts gehen. Wir bewegen uns also in Richtung der $x$-Achse.Haben wir nun aber eine Funktion mit mehreren Variablen gegeben (z.B. $f(x,y)$), so gibt die partielle Ableitung $f'(x_0, y_0)$ an der Stelle $P = (x_0, y_0)$ an, ...
  9. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für  $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $  lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...
  10. Extremwerte
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte
    Sollen in der Mathematik Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt werden, unterscheidet man zwischen Extremwerten mit und ohne Nebenbedingungen. Die zur Bestimmung von Extremwerten notwendige Bedingung ist, dass alle 1. partiellen Ableitungen der Veränderlichen Null sein müssen. Denn selbst wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit ...
  11. Extremwerte mit Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen
    ... kommen wir zur Bestimmung von Extremwerten von Funktionen, welche an Nebenbedingungen gebunden sind. Zur Lösung dieses mathematischen Problems können zwei verschiedene Vorgehensweisen gewählt werden. Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen ...
  12. Verfahren von Lagrange
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange
    ... auch problemlos nach dem gleichen Schema auf Funktionen mit mehr als 2 Veränderlichen anwenden. Bei z.B. Funktionen mit 3 Veränderlichen unter einer Nebenbedingung erhält man am Ende eine Funktion mit 2 Veränderlichen, welche dann nach dem Schema im Kapitel "Extrempunkte ohne Nebenbedingung" gelöst werden kann.
  13. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $1. Bestimmung der Nullstellen ...
  14. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... wird. Es müssen sich dann zwei identische Funktionen ergeben.Wenn die Exaktheitsbedingung stimmt, dann gibt es Potential $\psi$, so dass$\psi_x = M$   und   $\psi_y = N$mit$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y ...
  15. Differentialgleichung höherer Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
    ... (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung der homogenen DifferentialgleichungDie Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler ...
  16. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $ sein muss. Lösung homogener DifferentialgleichungenZur ...
  17. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... liefert.Alle linear unabhängigen Funktionen $ y_1, y_2, ..., y_n $ bilden eine Lösungsbasis der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung ist$ y = c_1y_1 + .... + c_ny_n, c_k \in \mathbb{R} $Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung  $ 1, -2, 3 $$ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $$ ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Produktion

  1. Einführung in die Produktions- und Kostentheorie
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie
    ... in den kommenden Abschnitten einige Produktionsfunktionen vorgestellt, anschließend folgt eine Erweiterung durch die Kostenfunktion, welche die Praktikabilität der Produktionsfunktionen bewerten. Von besonderem Interesse werden lineare-limitationale Funktionen und die Gutenberg-Produktionsfunktion sein. Zuerst wird jedoch auf die einzelnen Faktoren eingegangen, die die Produktionsfunktionen beinhalten. 
  2. Produktionsfaktoren
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfaktoren
    image
    ... erfolgt die Gestaltung von Produktionsfunktionen mit Hilfe von Produktionsfaktoren $r_i$. Diese unterteilt man in 4 Kategorien. PotentialfaktorenAls Potentialfaktoren werden alle Betriebsmittel beschrieben. Hierzu zählen Gebäude, Produktionsanlagen, Fuhrpark, Patente und Werkzeuge. HumanfaktorenAls Humanfaktoren bezeichnet man alle Mitarbeiter, die zur Erstellung von Produkten eingesetzt werden. Das Maß in dem Humanfaktoren in Produktionsfunktionen erfasst werden ...
  3. Grundlegende Eigenschaften
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Grundlegende Eigenschaften
    Produktionsfunktionen besitzen Eigenschaften, die einen Transformationsprozess in der Produktion beschreiben und mathematische darstellen. Besonders wichtig sind hierfür die Eigenschaften Substitutionalität, Limitationalität und Linearität, welche im Folgenden beschrieben werden.
  4. Limitationalität
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Grundlegende Eigenschaften > Limitationalität
    Limitationalitt
    ... diesem Fall, liegen alle Punkte von Produktionsfunktionen auf einer Geraden, die als Prozessstrahl bezeichnet wird. Alle Faktorvariation die auf diesem Prozessstrahl liegen, liefern den gewünschten Output. Die Besonderheit ist hierbei der Faktor $\lambda $. Für eine Steigerung des Outputs muss demnach jeder Faktoreinsatz $r_j$ mit einem Faktor $\lambda$ multipliziert werden (proportionale Variation der Faktoreinsätze). Verändert sich dann der Output ebenfalls um den ...
  5. Produktionsfunktionstypen
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen
    ... wir bereits herausgefunden, dass Produktionsfunktionen helfen die Beziehungen zwischen Produktionsfaktoren und deren Ausbringungen zu beschreiben. Entscheidend ist hierbei der verwendete Aggregationsgrad der Betrachtung. Möchte man das Unternehmen als Ganzes betrachten, so erfolgt dies von der höchsten Aggregationsstufe aus, anhand von einer einzigen aggregierten Produktionsfunktion.In der Praxis ist es jedoch üblich, einzelne Bereiche in ihrem Zusammenwirken genauer zu beschreiben. ...
  6. Leontief-Produktionsfunktion
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen > Leontief-Produktionsfunktion
    ... Produktionsfunktion). FaktorfunktionenWenn man nun festlegt, dass die Leontief Produktionsfunktion aus nur einem Produktionsverfahren besteht, lässt sie sich für die einstufige Produktion eines Produktes durch das folgende System von Faktorfunktionen darstellen:$r_1 = a_1 x$$r_2 = a_2 x$...$r_i = a_i x \; (i = 1, ... , m)$$ a_i $ ist hierbei ein konstanter Produktionskoeffizient. Die dazugehörige maximale Produktionsmenge lautet:$ x = \frac{r_i}{a_i} ( i ...
  7. Input-Output-Systeme
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen > Input-Output-Systeme
    Gozintograph
    ... unterscheiden sich von Leontief-Produktionsfunktionen in ihrem Detaillierungsgrad. Es geht jetzt nicht mehr nur darum,  Beziehungen zwischen Faktoreinsatz und Ausbringung für ein System von Produktionsstellen herzustellen, sondern für jede Produktionsstelle den jeweiligen Input und Output zu berechnen. Verallgemeinernd lässt sich sagen, dass Input-Output-Systeme Systeme "lokaler Leontief-Produktionsfunktionen" sind.Ein wichtiger Vertreter im Rahmen von Input-Output-Systemen ...
  8. Gutenberg-Produktionsfunktion
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen > Gutenberg-Produktionsfunktion
    Verbrauchsfunktionen
    ... einer Verbrauchsfunktion. VerbrauchsfunktionenDie Verbrauchsfunktionen $ V_1 (d) $ besitzt einen linearen Verlauf, die andere Funktion $ V_2 (d)$ hat ein lokales Minimum bei $ d_{opt}$ . Im lokalen Minimum läuft die Produktion in Bezug auf den Faktorverbrauch pro Outputeinheit optimal ab. Jedoch wird dieser Bereich oft verlassen um durch eine höhere Produktionsgeschwindigkeit einen höheren Output zu erzielen, auch wenn dadurch der Faktorverbrauch pro Outputeinheit wieder ...
  9. Arten von Kostenfunktionen
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    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Kostenfunktionen > Arten von Kostenfunktionen
    image
    In diesem Abschnitt werden drei Arten von Kostenfunktionen aufgeführt: Die lineare, degressive und progressive Kostenfunktion.Lineare KostenfunktionBei der linearen Kostenfunktion steigen die variablen Kosten proportional zur produzierten Menge. Die variablen Stückkosten bleiben (unabhängig von der Menge) konstant und sind gleich der Grenzkosten.Die allgemeine Form der linearen Kostenfunktion lautet:$K(x)=k_v*x+K_f$Ein Unternehmen hat die folgende Kostenfunktion:$K(x) = 100x + 500$Hierbei ...
  10. Minimalkostenkombination
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Minimalkostenkombination
    Isoquante einer substitutionalen Produktionsfunktion
    ... zu können.Linear-limitationalen KostenfunktionenDie linear-limitatonale Kostenfunktion besitzt bereits eine vorgegeben Faktormengenkombination. Das bedeutet, dass die Kombination der Produktionsfaktoren ($r_1, ... , r_n$) bereits eindeutig und optimal ist und damit mit der Minimalkostenkombination übereinstimmt. Substitutionale KostenfunktionBei der substitutionalen Kostenfunktion hingegen, existieren mehrere Möglichkeiten die Einsatzfaktoren ($r_1, ... , r_n$) miteinander ...
Produktion
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Unternehmensführung

  1. Management und Unternehmensführung
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung
    Managementgruppen
    ... unterscheidet sich von anderen Managementfunktionen, da es prüft, inwieweit die anderen Führungsaufgaben erfüllt wurden.Diese Erkenntnisse haben die angloamerikanische „Managemant Process School“ zu ihrer Zeit stark beeinflusst und stellen auch heute noch einen wichtigen Meilenstein in der Unternehmensführungstheorie dar. Anders als Koontz und O’Donnell geht man in der heutigen Forschung nicht mehr vom Primat der Planung aus. Vielmehr gibt es einen „kontrollierten“ ...
  2. Management aus funktionaler Sicht
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht
    ... der Schaffung und dem Einsatz von Prozessen und Funktionen zur Optimierung des Leistungsprozesses zusammenhängen. UnternehmensbereicheDabei tangiert die Unternehmensführung alle Bereiche eines Unternehmens.Eine Führungskraft aus der Verwaltung ist im gleichem Umfang der Unternehmensführung verpflichtet wie Führungskräfte aus anderen Abteilungen.Abteilungen, in denen Unternehmensführung ausgeübt wird:PersonalabteilungFinanzabteilungAbteilung zur Koordinierung ...
  3. Führungsprozess
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht > Führungsprozess
    ... viel Zeit und Ressourcen in Anspruch. ZielfunktionenZu Beginn werden Zielfunktionen formuliert, die zukünftig erfüllt werden sollen. Hierzu zählen:BewertungsfunktionenAuswahlfunktionenSteuerungsfunktionenKoordinationsfunktionenMotivationsfunktionen undabschließende KontrollfunktionenZieldifferenzierungIst man sich sicher diese Vorgaben erfüllen zu können, beginnt man die Ziele voneinander zu differenzieren und einer der beiden bereits bekannten Gruppen zuzuordnen.Formalziele: ...
  4. Funktionen der Planung
    Planung > Funktionen der Planung
    ... nochmal zusammen, können wir folgende Funktionen der Planung ausmachen:SelektionsfunktionFlexibilisierungsfunktionKoordinationsfunktion
  5. Planungssysteme
    Planung > Planungssysteme
    Anforderungen an Planungssystem
    ... leiten sich diese aus den zuvor behandelten Funktionen der Planung ab):FlexibilitätAktualitätVollständigkeitTransparenzVerständlichkeitWirtschaftlichkeitDarüber hinaus gibt es noch weitere Anforderungen an das Gesamtsystem. Wir wollen uns jetzt in den folgenden Kapiteln mit folgenden Aspekten des Planungssystems beschäftigen:PlanungsgegenstandPlanungsträgerPlanungskoordination
Unternehmensfhrung
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Strömungslehre

  1. Horizontalkraft
    Hydrostatik > Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände > Horizontalkraft
    Vertikalkraft
    ... ermittelt wird, indem die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus angewendet werden.
  2. Lagrange- / Euler-Darstellung
    Kinematik einer Strömung > Lagrange- / Euler-Darstellung
    Lagrange - Darstellung
    ... $T$ sind in der allgemeinsten Form durch Funktionen des Ortes sowie der Zeit festgelegt und gelten für alle Teilchen, die den Ort erreichen. Die sich ergebenden EULERschen Bewegungsgleichungen sind einfacher und bilden überwiegend die Grundlage der Strömungsmechanik.Die Geschwindigkeitsverteilung im Raum an einem beliebigen Punkt (x,y,z) zur Zeit $t$ beträgt:$\vec{w} = [w_x(x,y,z,t), w_y(x,y,z,t), w_z(x,y,z,t)]$.Die Komponenten $w_x$, $w_y$ und $w_z$ (Komponentendarstellung ...
  3. Beispiel: Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion > Beispiel: Stromfunktion
    Beispiel Stromlinien
    ... sich hierbei um zwei unterschiedliche Stromfunktionen, da zwei unterschiedliche Werte resultieren. Das bedeutet also, dass die Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. In der unteren Grafik sind die beiden Stromlinien und die beiden Punkte eingezeichnet. Man sieht deutlich, dass die beiden Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. Man kann sich die Stromlinien wie Höhenlinien vorstellen, d.h. also man hat eine Draufsicht von oben auf die Stromfunktion. Man sieht auch ganz ...
  4. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion Potentiallinien
    ... unterschiedliche Konstanten der Potentialfunktionen die Potentiallinien eingezeichnet:In der obigen Grafik ist ganz deutlich zu erkennen, dass in den vier Quadranten des $x,y$-Koordinatensystems die Potentiallinien Hyperbeln darstellen. Dabei befinden sich die Potentiallinien mit positiven Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = + const$ in dem Quadranten 1 und 3, die Potentiallinien mit negativen Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = - const$ in den Quadranten 2 und 4.In ...
  5. Quelle und Senke (Divergenz)
    Ebene Strömungen > Quelle und Senke (Divergenz)
    Quelle und Senke
    ... bedeutet also, dass die hier behandelten Stromfunktionen und Potentialfunktionen quellfrei sind (aufgrund der Kontinuitätsgleichung).Beispiel: Quelle und SenkeGegeben sei die Stromfunktion $\Psi (x,y) = x^2 - y^2$. Liegt eine Quelle, Senke oder Quellfreiheit vor? Die Bestimmung einer Quelle, Senke oder der Quellfreiheit kann mit der folgenden Formel bestimmt werden:$\text{div} \; \vec{w} = \nabla \cdot \vec{w} = \frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} ...
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Elektrotechnik

  1. Einführung Wechselstrom
    Wechselstrom > Einführung Wechselstrom
    ... ZeitfunktionenMan kann elektrische Vorgänge unterteilen in zeitunabhängige Vorgänge, wie es bei Gleichströmen und Gleichspannung der Fall ist und in zeitabhängige Vorgänge, wie sie bei der Wechselstromtechnik auftreten. Die zeitabhängigen Vorgänge unterscheidet man weiter in nicht periodische Abläufe, wie Schaltvorgänge, und periodische Abläufe, die sich zeitlich wiederholen. In diesem Kapitel ...
  2. Periodische Zeitfunktionen
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Periodische Zeitfunktionen
    ... beginnen, gehen wir auf andere periodische Zeitfunktionen eines Wechselstroms ein. 
  3. Kennwerte
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Sinusgrößen > Kennwerte
    ... $u $ und einen Sinusstrom $i $ mit den ZeitfunktionenZeitfunktion: $ u = \hat{u} sin \omega t $ und $ i = \hat{i} sin \omega t $sind die Effektivwerte $ U $ und $ I $ beschrieben durch:Effektivwert Sinusspannung: $ U = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u^2 dt} $Effektivwert Sinusstrom: $ I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt} $Setzt man nun die Zeitfunktionen in die entsprechende Gleichung für den Effektivwert ein, so erhält man bei Sinusgrößen allgemein die Effektivwerte$ U ...
  4. Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit
    Windkraftanlage
    ... eine genaue Berechnung bedient man sich der Zeitfunktionen der Spannung und des Stroms. Diese sind definiert durch:Zeitfunktion der Spannung: $ u = \sqrt{2} \cdot U \cdot \sin (\omega t + \varphi_u) $Zeitfunktion des Stroms: $ i = \sqrt{2} \cdot I \cdot \sin (\omega t + \varphi_i) $.Diese beiden Zeitfunktionen setzt man unter zur Hilfenahme der Beziehung$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)] $sowie$ \varphi  = \varphi_u - \varphi_i $ in ...
Elektrotechnik
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    ... Winkel.Winkel berechnenMittels der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens können nun die Winkel $\alpha$ bzw. $\beta$ berechnet werden, wenn die Längen von zwei Seiten gegeben sind. WinkelfunktionenWir beziehen uns auf den Winkel $\alpha$. Die Winkelfunktionen gelten natrürlich ebenfalls für den Winkel $\beta$, es muss eben nur darauf geachtet werden, dass Ankathete und Gegenkathe dann anders definiert sind. $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$\cos(\alpha) ...
  2. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
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    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... Dies geschieht mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. Man sieht ganz deutlich, dass sich die obigen Komponenten der $x$-Achse und der $y$-Achse jeweils zusammenfassen lassen (Addition bzw. Subtraktion). Als Beispiel: Die $x$-Achse hat die Komponenten $F_{1x}$, $F_{2x}$ und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion ...
  3. Bestimmung von Momenten
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    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... bestimmt werden. Wichtig ist es also, die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens zu kennen, um die Seiten innerhalb eines Dreiecks zu bestimmen und damit den Hebelarm zu berechnen. Alternativ kann man die Kraft auch in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegen und für diese jeweils das Moment bestimmen. Am Ende müssen die beiden Momente dann miteinander addiert werden.Das Video wird geladen... 
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Thermodynamik

  1. Isotherme Zustandsänderung
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    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... + V_1^2}$oder man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.VolumenänderungsarbeitDie Volumenänderungsarbeit für ein geschlossenen System ist mit $T = const$:$W_V = - \int_1^2 p \; dV$.Es ändert sich also nichts an der Volumenänderungsarbeit, da sowohl $p$ als auch $V$ nicht konstant sind.Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $p$, in die Volumenänderungsarbeit ...
  2. Isentrope Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isentrope Zustandsänderung
    Isentrope Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.VolumenänderungsarbeitZur Bestimmung der Volumenänderungsarbeit kann die Formel für die Änderung der inneren Energie verwendet werden:$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$.Da es sich hierbei um einen reversiblen Prozess in einem adiabaten System handelt gilt:$U_2 - U_1 = W_V$.Die Änderung der inneren Energie kann auch kalorisch ...
Thermodynamik
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Beispiel: Stabzweischlag
    ... Viele Probleme lassen sich mittels der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens lösen.
  2. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... \end{array}\right. $Dabei geben die skalaren Funktionen u bzw. v die Verschiebungen in x bzw. in y Richtung an. Sie sind also mit dem Ort (x,y) veränderliche Funktionen.Eine Verformung umfasst im allgemeinen Fall sowohl Längen- als auch Winkeländerungen. Verzerrungen im ebenen FallVon Verzerrungen ist immer dann die Rede, wenn die Verschiebung zweier benachbarter Punkte unterschiedlich ist. Dies erfolgt, wenn sich der Abstand zweier Punkte oder der Winkel zwischen drei Punkten ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Maschinenelemente 2

  1. Antriebselemente - Ausblick
    Elastische Verbindungselemente > Antriebselemente - Ausblick
    Antriebswelle
    ... befindliche Elemente, deren primären Funktionen die Energieleitung, die Energiespeicherung und die Energiewandlung sind. EnergieleitungDie Energieleitung ist immer mit einer Bewegung verbunden. In den meisten Fällen tritt eine Drehbewegung auf, die wiederum eine Fliehkraftbeanspruchung verursacht, aber auch Unwuchten und in zweiter Instanz Resonanzen erzeugen kann. Konstruktive Anforderungen an AntriebselementeBei Antriebselementen können unerwünschte Folgen ...
Maschinenelemente 2
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Maschinenelemente 1

  1. Technische Anforderungen an Konstruktionen
    Kursüberblick > Technische Anforderungen an Konstruktionen
    Moderner Verbrennungsmotor
    ... der Hauptfunktion (immer nur eine) und den Nebenfunktionen des Produkts. Ein Rasenmäher, dessen Mähwerk nicht ordentlich schneidet, wird spätestens nach dem zweiten Gebrauch reklamiert. LebensdauerDie Lebensdauer eines Bauteils kann in erster Instanz nicht direkt aus der Betrachtung einer Konstruktion erfolgen. Hierzu sind Langzeitversuche bzw. Dauerstresstests notwendig, die das Bauteil auf Herz und Nieren prüfen. Aus den Ergebnissen lässt sich dann eine Aussage ...
Maschinenelemente 1
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