Analysis und Lineare Algebra

  1. Stetigkeit einer Funktion
    Elementare Funktionen > Stetigkeit einer Funktion
    Stetigkeit
    Stetigkeit von FunktionenEine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn:der Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.der Grenzwert $G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert. $\;$ $(G \in \mathbb{R})$der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt. $\to G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Ist eine Funktion an der Stelle $x_o$ nicht definiert, so brauchst du dich nicht zu fragen, ob diese in $x_0$ stetig ist.Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ ...
  2. Grenzwerte von Funktionen
    Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
    Grenzwert
    Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.Grenzwert einer reellen Funktion $f$ für $x$ gegen $x_0$: $\;\; \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:$x_0 \in \mathbb{R}$: ...
  3. Trigonometrische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
    Winkelfunktionen
    Trigonometrische Funktionen (gr. trigonon = Dreieck, gr. metron = Maß), auch Winkelfunktionen genannt, dienen in der Mathematik zur Berechnung der Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältinissen. In den Naturwissenschaften dienen sie als fundamentale Funktionen zur Berechnung periodischer Vorgänge.Die wichtigen trigonometrischen Funktionen sind:Sinusfunktion: $f(x) = sin(x)$Kosinusfunktion: $f(x) = cos(x)$Tangensfunktion: $f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $sowie ...
  4. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... der trigonometrischen FunktionenIn den vier Quadranten haben die trigonometrischen Funktionen folgende Vorzeichen:QuadrantsincostancotI++++II+---III--++IV-+--$sin(\alpha) \widehat{=}$ Abschnitt auf der $y$-Achse:Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $y$-Wert befinden sich oberhalb der $x$-Achse. Somit sind die Sinuswerte im I. und II. Quadranten ($0° \leq \alpha \leq 180°$) positiv. Im III. und IV. Quadranten ($180° \leq \alpha \leq 360°$), also ...
  5. Beziehungen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Beziehungen trigonometrischer Funktionen
    Bitte Beschreibung eingeben
    Zwischen den trigonometrischen Funktionen bestehen enge rechnerische Beziehung. Eine Funktion würde schon ausreichen, um jedwedes trigonometrische Problem zu berechnen. Zur Vereinfachung können jedoch mehrere verschiedene Kreisfunktionen verwendet werden. Falls es die Rechnung erfordert, können diese auch in einander überführt werden. Im Folgenden stellen wir dir die wichtigsten Beziehungen kurz vor.KomplementbeziehungenWir können mit den Komplementbeziehungen in einem ...
  6. Ableitung der Elementaren Funktionen
    Differentialrechnung > Ableitung der Elementaren Funktionen
    ... \cdot x^a = a\cdot x^{a-1}$Trigonometrische FunktionenSinus:  $f(x) = sin x \; \rightarrow \; f´(x) = cos x$Cosinus:  $f(x) = cos x \; \rightarrow \; f´(x) = -sin x$Tangens:  $f(x) = tan x \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x$Cotangens:  $f(x) = cot x \; \rightarrow \; f´(x) = -\frac{1}{sin^2 x} = -(1 + cot^2 x)$
  7. Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
    ... für den Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Folgende sind besonders wichtig:Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, bspw. $\, sin(x + y)$Regeln für Summen und Differenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) + cos(y)$Regeln für Produkte und Quotienten von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) \cdot cos(y)$Regeln für Potenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin^2(x)$Im Folgenden stellen wir nur die Additionstheoreme und die ...
  8. Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen > Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen
    ... Additionstheoremen lassen sich Funktionen ableiten, die es ermöglichen die Summe bzw. Differenzen aus zwei trigonometrischen Funktionen als Produkt darzustellen:$\ sin \alpha \pm sin \beta = 2 \, sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} cos\frac{ \alpha \mp \beta}{2}$ $\ cos \alpha + cos \beta = 2 \, cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$\ cos \alpha - cos \beta = -2 \, sin \frac{\alpha + \beta}{2} sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$\ cos \alpha \pm sin \alpha = \sqrt{2} ...
  9. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. Es existieren sechs HyperbelfunktionenSinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),Kosinus Hyperbolicus (cosh),Tangens Hyperbolicus (tanh),Kotangens Hyperbolicus (coth),Sekans Hyperbolicus (sech),und Kosekans Hyperbolicus (csch).Die ersten drei Funktionen, also Sinus ...
  10. Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    ... wie folgt:Grundlagenkomplexe Zahlenelementare FunktionenVektorrechnungDifferentialrechnungIntegralrechnungFolgen und Reihenlineare Algebra
  11. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... \in B$ gebildet werden können. Alle Funktionen und Abbildungen sind als Teilmengen kartesischer Produkte aufzufassen.Schreibweise: $A \times B = \{(x,y)|x \in A \; \text{und} \; y \in B \}$Hierbei stellt $n_1$ die Anzahl der Elemente von $A$ und $n_2$ die Anzahl der Elemente von $B$ dar. Die Produktmenge beinhaltet dann $n_1 \cdot n_2$ geordnete Paare. Überträgt man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter ...
  12. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    IV. Quadrant
    ... Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen an. Die Eulersche Darstellung wird im angegeben durch:Eulersche Darstellung: $z = r e^{i\varphi}$mit  $e^{i\varphi} = cos \varphi + i \cdot sin \varphi$Die Angabe von $\varphi$ erfolgt bei der eulerschen Darstellung in Radiant!Gegeben sei die komplexe Zahl $z = 3 - i4$. Wie lauten ihre Polarkoordinaten?Wir verwenden hier wieder der kartesischen ...
  13. Elementare Funktionen
    Elementare Funktionen
    ... Zahlen, Mengen, geometrische Körper) durch Funktionen mathematische Objekte zuzuordnen sind.mathematische Funktion: $f: \begin{cases} D \to Z \\ x \mapsto y \end{cases} \;$ oder auch $\; f: D \longrightarrow Z, x \mapsto y \;\;$Jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$ wird durch die Funktion $f$ genau ein Element $y$ der Zielmenge $Z$ zugeordnet. Das dem Element $x$ aus der Defintionsmenge $D$ zugeordnete Element $y \in Z$ bezeichnen wir im Allgemeinen mit $f(x)$.Bitte beachte, dass die ...
  14. Rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen
    ... diesem Kursabschnitt werden wir die rationalen Funktionen inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionenunterscheiden und deren Eigenschaften betrachten.
  15. Ganzrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
    ... (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale Funktion (alle $n$ sind natürliche Zahlen) mit dem ...
  16. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    ... Nullstellen von $f(x)$.  Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion ...
  17. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    image
    ... im UnendlichenDie Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt. Verhalten im UnendlichenÜberblick zu den Grenzwerten ganzrationaler FunktionenFür $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} ...
  18. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    ... sowie Polstellen gebrochenrationaler Funktionen und der senkrechten sowie waagerechten Asymptoten ein. 
  19. Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Definitionslcke
    Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: ...
  20. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
    schiefe Asymptote
    ... sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ist, der Zähler jedoch nicht.senkrechte Asymptote: $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$ Beispiel: senkreche AsymptoteGegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}$. Bestimme die Polstelle(n)!Wir ...
  21. Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
    ... von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:$lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$$lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Für die Berechnung der Grenzwerte vergleichen ...
  22. Nichtrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen
    ... Kurstexten gehen wir auf die nichtrationalen Funktionen ein und zeigen Dir deren Eigenschaften und stellen dir ihre Rechenregeln vor.
  23. Wurzelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Wurzelfunktionen
    ... die Umkehrung der Potenzfunktion. Potenzfunktionen mit geradzahligen Exponenten besitzen im Gegensatz zu Potenzfunktionen mit ungeradzahligen Exponenten zwei Lösungen.geradzahlige Exponenten: $x^2 = 9 \longrightarrow x = 3 \;$ und $\; x = -3$Vergleichen wir nun mit ungeradzahligen Exponenten, so sehen wir, dass bei ungeradzahligen Exponenten nur eine Lösung existiert. $(x_1)^3 = 8 \longrightarrow x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$$(x_2)^3 = -8 \longrightarrow x_2 = - \sqrt[3]{8} = -2$Setzten ...
  24. Die allgemeine Exponentialfunktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die allgemeine Exponentialfunktion
    ... Diese hat gegenüber anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Ihr widmen wir uns im nächsten Kurstext. Wichtig für dich zu wissen ist, dass mit ihrer Hilfe unter Verwendung des natürlichen Logarithmus' sich jede Exponentialfunktion zur Basis $e$ umwandeln lässt. Aus $a = e^{ln \, a}$ folgt:$f(x) = a^x := e^{x \, \cdot \, ln \, a}$Kleine Erinnerung: Das Zeichen $:=$ heißt "wird per Definition gleichgesetzt."Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5^x$.Für ...
  25. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    ... $e^x$.Ableitung der e-Funktion: $(e^x)' = e^x$e-FunktionenWeitere GrenzwerteDie e-Funktion steigt im Unendlichen stärker als jede noch so große Potenzfunktion. Der Quotient aus beiden Funktionen geht je nachdem ob die E-Funktion im Zähler oder Nenner steht, geht entweder gegen null oder gegen Unendlich.$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$ RechenregelnDie ...
  26. Logarithmusfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Logarithmusfunktionen
    ... der allgemeinen LogarithmusfunktionLogarithmusfunktionen haben eine große Bedeutung in der Wissenschaft, da mit ihnen sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich dargestellt werden können. Als allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis $b$ bezeichnen wir die Funktion, die bei gegebener fester Basis $b$ jedem Argument $x$ ihren Logarithmus zuordnet:allgemeine Logarithmusfunktion: $f(x) = \log_b(x)$Die Logarithmusfunktionen sind nur für positive reelle Zahlen sowie für ...
  27. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ Graphen ist durch ein negatives Vorzeichen gespiegelt und steigt somit zuerst, um dann nach Durchschreiten des Hochpunktes (0;0) zu fallen. Der $\color{pink}{\mathbf{hellviolette}}$ ...
  28. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung
    ... Die Ableitung 1. Ordnung für Funktionen mit Exponenten sieht wie folgt aus $\ f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} $.Differenziere folgende Stammfunktion $\ f(x) = 5 \cdot x^4 + 3 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 9$Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen  $x$  multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.$ f`(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{4-1} + 3\cdot 3 ...
  29. Ableitungsregeln
    Differentialrechnung > Ableitungsregeln
    Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $     ...
  30. Monotone Funktionen
    Differentialrechnung > Monotone Funktionen
    Monotonieverhalten
    ... wächst oder fällt.Monoton wachsendIn Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $. und von streng monoton wachsend, wenn gilt:Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $. streng monoton wachsendIn der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton steigend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle  $x \in I$ eine positive ...
  31. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$, sowie  $g´(x_0) \neq 0$.  Dann gilt:$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)}$Die obigen Regel besagt einfach, dass wenn sowohl Nenner als auch Zähler einer Funktion gegen Null laufen, wenn ...
  32. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    ... es unendlich viele Lösungen, bzw. Stammfunktionen für dieses Problem gibt [siehe Grafik].Unbestimmtes IntegralDie Funktion könnte also z.B. so aussehen:$x^4 + x^2 + 3$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$oder$x^4 + x^2 + 15$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$...Da in diesem Fall die Wahl der Konstanten beliebig ist, spricht man auch von einem unbestimmten Integral. Es ist nur möglich ein Integral zu lösen, wenn man bereits die Stammfunktion $\ F(x)$ der Ableitung $\ f(x)$ kennt. ...
  33. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst substituiert ...
  34. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...
  35. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Im Gegensatz zu den bisherigen rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch ...
  36. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    ... \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es gilt:$u´ = e^x \to u = e^x$$v = x \to v´ = 1$$\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ dx = [e^x \cdot x]_0^1 - \int\limits_0^1 e^x \ dx$$= [e^x \cdot x]_0^1 -[e^x]_0^1 = e - 0 - (e - 1) = 1$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Kurseinführung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Kurseinführung
    ... im ebenen Raum und mehrdimensionalen Raum, Funktionen mehrerer Veränderlicher sowie der gewöhnlichen Differentialrechnung einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen der Darstellungsarten ebener Kurven vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themen eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, ...
  3. Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Spirale im Raum
    ... Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. $\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$, wobei $\alpha $ für die Raumkurve steht.Eine Spirale im Raum hat beispielsweise die Parameterdarstellung:$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\ 0,5 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 6\pi$Grafische DarstellungGrafisch sieht das wie folgt aus:Spirale im Raum
  4. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ...
  5. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn$(x_0, y_0) \in D_f$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.In Worten: Eine Funktion ...
  6. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... mathematisch modelliert. Es ergeben sich Funktionen von mehreren reellen Variablen. Um jedoch aus diesem Modell die Funktion einer Veränderlichen zu erhalten ist es notwendig sich auf einen der Parameter zu konzentrieren, der als unabhängige Variable angesehen wird und alle übrigen Parameter als konstant anzusehen. Dieses Vorgehen nennt man auch Ceteris Paribus. Jedoch kann anhand des Verhalten einer Variable nichts über die Gesamtwirkung gesagt werden, wodurch ...
  7. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist : $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $.Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist : $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.Da bei der partiellen Ableitung nach $\ x$ die Therme ohne $\ x$ als Konstanten gelten, fallen sie beim Ableiten ...
  8. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... - was ist das?Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B. $f(x)$) gegeben, so gibt die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ an, wie sich der Funktionswert verändert, wenn von der Stelle $x_0$ aus einen kleinen Schritt nach links oder nach rechts gehen. Wir bewegen uns also in Richtung der $x$-Achse.Haben wir nun aber eine Funktion mit mehreren Variablen gegeben (z.B. $f(x,y)$), so gibt die partielle Ableitung $f'(x_0, y_0)$ an der Stelle $P = (x_0, y_0)$ an, ...
  9. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für  $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $  lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...
  10. Extremwerte
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte
    Sollen in der Mathematik Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt werden, unterscheidet man zwischen Extremwerten mit und ohne Nebenbedingungen. Die zur Bestimmung von Extremwerten notwendige Bedingung ist, dass alle 1. partiellen Ableitungen der Veränderlichen Null sein müssen. Denn selbst wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit ...
  11. Extremwerte mit Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen
    ... kommen wir zur Bestimmung von Extremwerten von Funktionen, welche an Nebenbedingungen gebunden sind. Zur Lösung dieses mathematischen Problems können zwei verschiedene Vorgehensweisen gewählt werden. Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen ...
  12. Verfahren von Lagrange
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange
    ... auch problemlos nach dem gleichen Schema auf Funktionen mit mehr als 2 Veränderlichen anwenden. Bei z.B. Funktionen mit 3 Veränderlichen unter einer Nebenbedingung erhält man am Ende eine Funktion mit 2 Veränderlichen, welche dann nach dem Schema im Kapitel "Extrempunkte ohne Nebenbedingung" gelöst werden kann.
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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