Analysis und Lineare Algebra
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Elementare Funktionen
Elementare Funktionen
... Zahlen, Mengen, geometrische Körper) durch Funktionen mathematische Objekte zuzuordnen sind.mathematische Funktion: $f: \begin{cases} D \to Z \\ x \mapsto y \end{cases} \;$ oder auch $\; f: D \longrightarrow Z, x \mapsto y \;\;$Jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$ wird durch die Funktion $f$ genau ein Element $y$ der Zielmenge $Z$ zugeordnet. Das dem Element $x$ aus der Definitionsmenge $D$ zugeordnete Element $y \in Z$ bezeichnen wir im Allgemeinen mit $f(x)$.Bitte beachte, dass die ... -
Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner oder gleich dem Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ echt ...Konkave und konvexe Funktionen
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen
Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...Ganzrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
... (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale Funktion (alle $n$ sind natürliche Zahlen) mit dem ...Stetigkeit einer Funktion
Elementare Funktionen > Stetigkeit einer Funktion
Stetigkeit von FunktionenEine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn:der Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.der Grenzwert $G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert. $\;$ $(G \in \mathbb{R})$der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt. $\to G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Ist eine Funktion an der Stelle $x_o$ nicht definiert, so brauchst du dich nicht zu fragen, ob diese in $x_0$ stetig ist.Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ ...Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
... für den Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Folgende sind besonders wichtig:Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, bspw. $\, sin(x + y)$Regeln für Summen und Differenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) + cos(y)$Regeln für Produkte und Quotienten von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) \cdot cos(y)$Regeln für Potenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin^2(x)$Im Folgenden stellen wir nur die Additionstheoreme und die ...Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
... Nullstellen von $f(x)$. Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion ...Gebrochenrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
... sowie Polstellen gebrochenrationaler Funktionen und der senkrechten sowie waagerechten Asymptoten ein.Die e-Funktion
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
... $e^x$.Ableitung der e-Funktion: $(e^x)' = e^x$e-FunktionenWeitere GrenzwerteDie e-Funktion steigt im Unendlichen stärker als jede noch so große Potenzfunktion. Der Quotient aus beiden Funktionen geht je nachdem ob die E-Funktion im Zähler oder Nenner steht, geht entweder gegen null oder gegen Unendlich.$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$ RechenregelnDie ...Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: ...Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...Ableitungen erster Ordnung
Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
... Die Ableitung 1. Ordnung für Funktionen mit Exponenten sieht wie folgt aus $\ f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} $.Differenziere folgende Stammfunktion $\ f(x) = 5 \cdot x^4 + 3 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 9$Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen $x$ multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.$ f`(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{4-1} + 3\cdot 3 ...Hyperbelfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. Es existieren sechs HyperbelfunktionenSinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),Kosinus Hyperbolicus (cosh),Tangens Hyperbolicus (tanh),Kotangens Hyperbolicus (coth),Sekans Hyperbolicus (sech),und Kosekans Hyperbolicus (csch).Die ersten drei Funktionen, also Sinus ...Grenzwerte von Funktionen
Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.Grenzwert einer reellen Funktion $f$ für $x$ gegen $x_0$: $\;\; \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:$x_0 \in \mathbb{R}$: ...Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung $f(x) = 0$ (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ...Extremwerte
Differentialrechnung > Extremwerte
Extremwerte$f(x)$ hat bei (1) ein Maximum. Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum, denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar.$f(x)$ hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion.$f(x)$ hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum.$f(x)$ hat bei (4) ein Minimum. Das ...Ableitungsregeln
Differentialrechnung > Ableitungsregeln
Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $ ...Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
... von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:$lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$$lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Für die Berechnung der Grenzwerte vergleichen ...Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
... im UnendlichenDie Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt. Verhalten im UnendlichenÜberblick zu den Grenzwerten ganzrationaler FunktionenFür $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} ...Asymptoten
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
... sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ist, der Zähler jedoch nicht.senkrechte Asymptote: $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$ Beispiel: senkreche AsymptoteGegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}$. Bestimme die Polstelle(n)!Wir ...Monotone Funktionen
Differentialrechnung > Monotone Funktionen
... wächst oder fällt.Monoton wachsendIn Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $. und von streng monoton wachsend, wenn gilt:Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $. streng monoton wachsendIn der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton steigend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle $x \in I$ eine positive ...Regel von de l' Hospital
Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
... streben. Regel 1: Die Funktionen $f(x), g(x)$ gelten an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gelte $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$, sowie $g´(x_0) \neq 0$. Dann gilt:$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)}$Die obigen Regel besagt einfach, dass wenn sowohl Nenner als auch Zähler einer Funktion gegen Null laufen, wenn ...Hebbare Definitionslücke
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x_0 = 0$wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke ...Methodische Produktentwicklung
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Funktions-Kosten-Analyse
Funktionsanalyse > Funktions-Kosten-Analyse
... die Funktionen realisieren.Problemfall Erstentwicklung: Liegt eine Erstentwicklung eines Objekts vor, so wäre es falsch von einer Funktions-Kosten-Analyse zu sprechen, denn diese kann nur für existierende Objekte mit Optimierungsbedarf angewendet werden. Ablauf der Funktions-Kosten-AnalyseGehen wir aber nun davon aus, dass das Objekt exisistiert und optimiert werden soll, so erstellt man die Funktions-Kosten-Analyse in drei Schritten:1. ... -
Funktionsdefinition
Funktionsanalyse > Funktionsdefinition
... der Produktentwicklung überlegt welche Funktionen ein Produkt besitzen soll. 3D-Drucker Anschließend sammelt man diese Funktionen und benennt sie. Auch die Definition der Funktionen eines Produkts durchläuft ein festgelegtes Ablaufschema:Funktionsdefinition - Ablauf und SchemaIdentifizieren der Funktionen Klarstellen der Funktionen, dh. Abgrenzen der FunktionenDefinieren der FunktionenGliedern der Funktionen $\rightarrow $ Funktionsarten, Funktionsklassen ... -
Ablaufplan eines FAST-Diagramms
Funktionsanalyse > Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm > Ablaufplan eines FAST-Diagramms
... unteren Verzweigungen, sowie den akzeptierten Funktionen.Spezifikationen, einmalige Funktionen sowie ständige Funktionen befinden sich zwar auch im Untersuchungsbereich, sie besitzen aber keine direkten Verbindungen zum Funktionspfad. AblaufplanDamit Sie auch in Ihrer Klausur alles richtig erstellen, haben wir für Sie einen Ablaufplan erstellt:Ablaufplan:Alle Funktionen müssen mit einem Substantiv und einem Verb bezeichnet werden.Alle Funktionen müssen über ... -
Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm
Funktionsanalyse > Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm
... eine prozessorientierte Strukturierung der Funktionen vor. Das bedeutet:Das FAST-Diagramm strukturiert den Ablauf der Funktionsausführung eines Produkts.Man formuliert hierfür verschiedene Funktionen, die nachfolgend aufgeführt sind:Übergeordnete FunktionDie übergeordnete Funktion wird ganz links im Diagramm abgebildet und beschreibt das primäre funktionale Ziel des Produkts. Diese Funktion kann nicht mehr in Frage gestellt werden.BasisfunktionDie Basisfunktion ... -
Funktion-Potential-Analyse
Funktionsanalyse > Funktion-Potential-Analyse
... die Bewertenden in Bezug auf die zu bewertenden Funktionen?Sind die zu bewertenden Funktionen überhaupt extern / intern zu bewerten?Wie kann bei externer Bewertung eine angemessene Geheimhaltung sichergestellt werden?Die vorauszusetzende Kompetenz der Bewertenden ist ebenfalls ein wichtiger Aspekt der Wahl der Bewertungsquelle. Kompetenz kann in diesem Fall u.a bedeuten:dass der Bewertende mit der funktionsorientierten Analyse vertraut istdass die Fähigkeit zu abstraktem Denken ausgeprägt ... -
Funktionsklassen
Funktionsanalyse > Funktionsklassen
Jedes Produkt lässt sich in Funktionen zerlegen. Die Gewichtung der einzelnen Produktelemente ist unterschiedlich, weshalb man diese einer der nachfolgenden Funktionsklassen zuordnet:FunktionsklassenMan unterscheidet sechs Funktionsklassen von denen die meisten erwünschte Funktionen enthalten, jedoch auch unerwünschte Funktionen können erfasst werden. Hauptfunktion $\rightarrow $ Die Funktion, mit besonders hoch gewichteter Wirkung bezogen auf denSinn der Nutzung. ... -
Definition des Soll-Zustands
Funktionsanalyse > Definition des Soll-Zustands
... Funktionspotentials, Strukturierung der FunktionenFestlegung der Funktionen, sowie ihrer MerkmalePlanen und Definieren des Soll-ZustandesDem zweiten Punkt können nachfolgende Aufgaben zugeordnet werden: 1. Entwicklungs- und Optimierungszielen genau festlegen:Funktionen und deren Merkmalen sowie Funktionsstruktur formulierenSOLL-Funktionen wahrscheinlich SOLL-Funktionskosten zuweisenTechnische Umsetzung der Funktionen konkretisieren2. Rangfolge von Entwicklungen und Optimierungen ... -
Funktionsstrukturen und Funktionsbaum
Funktionsanalyse > Funktionsstrukturen und Funktionsbaum
... welche folgerichtige Zusammenhänge von Funktionen miteinander abbilden. Diese Funktionsstrukturen bezeichnet man auch als Funktionsbäume, weil sie sich wie die Äste an Bäumen verzweigen. Erzeugen eines FunktionsbaumsWenn man mit dem Aufbau eines Funktionsbaums beginnt, sucht man zuerst nach der Gesamtfunktion. Dabei sollte immer beachtet werden, dass ein Produkt nur eine Gesamtfunktion besitzen kann.Hat man die Gesamtfunktion identifiziert und benannt, so geht man von ... -
Gesetz der Koordinierung des Rhythmus von Systemteilen
Gesetzmäßigkeiten der Produktentwicklung > Gesetz der Koordinierung des Rhythmus von Systemteilen
... vermindert sich.Ein System führt mehrere Funktionen gleichzeitig aus.Ein Prozess des Hinzufügens neuer Funktionen wird begleitet durch eine gleichzeitige Reduktion der benötigten Zeit zur Ausführung der Funktionen. -
Funktionsbewertung, House of Quality
Funktionsanalyse > Quality Function Deployment > Funktionsbewertung, House of Quality
... Ansatz zur Ermittlung der Bedeutung von Funktionen. Dieser Ansatz der QFD ist jedoch auch vergleichsweise aufwendiger.Der wesentliche Unterschied zur Bewertung von Funktionen mit Hilfe eines paarweisen Vergleiches ist dabei die direkte Bewertung der Funktionen anhand von Kundenanforderungen. Das bedeutet, die Funktionen werden nicht wie im paarweisen Vergleich direkt gegeneinander gewichtet. Die Struktur des 1st HoQ ist unten im Bild dargestellt.Ablaufschritte des House ... -
Funktionsanalyse
Funktionsanalyse
Funktionsprinzip einer ZentrifugeFunktionen beschreiben die Wirkungen eines Produktes oder Prozesses, nicht dessen Baugruppen, Einzelteile oder Verfahren. Ausgedrückt werden Funktionen in Form einer Kombination von Substantiv+aktivem Verb.Funktionen beschreiben aktive Wirkungen eines Objektes („Zahnrad drehen“) und nicht den Status einer Wirkung („Zahnraddrehung bereitstellen“)FunktionsanalyseDie Funktionsanalyse kann in vier Stufen unterteilt werden:Zu Beginn ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Funktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher
Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ... -
Implizite und explizite Darstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
... von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, ... -
Stetigkeit und Unstetigkeit
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:Eine Funktion $f$ mit $x \in D_f$ heißt an der Stelle $(x_0, y_0)$ stetig, wenn$(x_0, y_0) \in D_f$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = G$ mit $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.In Worten: Eine Funktion ... -
Höhen- und Schnittlinien
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde, kann man die dreidimensionale Sicht wählen um eine Funktion mit zwei Variablen darzustellen. Dies stellt allerdings in der Praxis ohne eine geeignete Software ein Problem dar. Deshalb muss versucht werden eine Funktion mit zwei Variablen anders darzustellen. Als Ausweg kann man die sogenannte Parameterdarstellung wählen. Bei dieser wird nur eine Variable wirklich als Variable genutzt, indem allen anderen Variablen ein fester Wert zugeordnet ...Richtungsableitung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
... - was ist das?Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B. $f(x)$) gegeben, so gibt die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ an, wie sich der Funktionswert verändert, wenn von der Stelle $x_0$ aus einen kleinen Schritt nach links oder nach rechts gehen. Wir bewegen uns also in Richtung der $x$-Achse.Haben wir nun aber eine Funktion mit mehreren Variablen gegeben (z.B. $f(x,y)$), so gibt die partielle Ableitung $f'(x_0, y_0)$ an der Stelle $P = (x_0, y_0)$ an, ...Kettenregel
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $ lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. Lipschitzbedingung (global)$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ für alle $(x, y_1), \; ...Totales Differential
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
Ändern sich die einzelnen Variablen $\ x_1,... x_n $ eines stetig differenzierbaren Funktionswertes $\ y $ zeitgleich, so beschreibt das totale Differential $\ dy $ die Summe aller einzelnen marginalen Änderungen von $\ x_1,...x_n $.In der Volkswirtschaftslehre sind ökonomische Vorgänge oft durch die gleichzeitige Änderung mehrerer Variablen gekennzeichnet. Ein Instrument, welches hierfür beinahe exemplarisch steht, ist das IS/LM-Modell zur gesamtheitlichen Erfassung ...
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Physik
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Bewegungsgleichungen
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Bewegungsgleichungen
Nachdem wir nun die Eigenfrequenz $\omega$, Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ für das Federpendel, Fadenpendel und physikalische Pendel bestimmt haben, wollen wir uns in diesem Abschnitt den Bewegungsgleichungen zuwenden. Hierzu betrachten wir das Ort-Zeit-Gesetz, das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz sowie das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für ungedämpfte harmonische Schwingungen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Bewegung des Pendel in der Ruhelage beginnen.Das Ort-Zeit-Gesetz ...Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Mechanische Wellen > Allgemeine Lösung der Wellengleichung
... stellt sich nun die Frage, welche Auslenkungfunktionen eine Lösung der Wellengleichung darstellen. Es kann jede beliebige Funktion als Lösung der Wellengleichung angesehen werden, die $x$ und $t$ in der folgenden Kombination enthält:$t \pm \frac{x}{c}$mit$c = \sqrt{\frac{k \cdot \triangle x^2}{m}}$ Das bedeutet also, dass die Auslenkfunktion eine Funktion mit der obigen Kombination sein muss:$s(x,t) = f(t \pm \frac{x}{c})$Auf den Nachweis, ...Schwingungsgleichung: Federpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:FederpendelZieht man einen Körper, in $y$-Richtung aus der Ruhelage, nach unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus.Wird der obige ...Schwingungsgleichung: Fadenpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
In diesem Abschnitt betrachten wir das Fadenpendel. Ist die Auslenkung des Pendelkörpers nicht zu groß, so besitzen seine Schwingungen ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf. Man spricht auch von einem mathematischen Pendel, wenn die Gewichtskraft des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge ist. FadenpendelDie rücktreibend wirkende Kraft eines Fadenpendels lässt sich bestimmen, indem man ...Operations Research 2
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Konkave und konvexe Funktionen
Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen
Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen > Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...Regelungstechnik
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Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip
... (s) \pm x_{e2} (s)$Das bedeutet, die beiden Bildfunktionen werden wie folgt miteinander überlagert:$x_e (s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2} + \frac{\omega}{\pi \cdot s^2}$In der nächsten Abbildung siehst Du den entsprechenden überlagerten Verlauf $ x_e = x_{e1} + x_{e2} $Überlagerungsprinzip
Webinare
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Crashkurs - Mathematik 1
... Differential- und Integralrechnung Zu allen Themen werden die besonders wichtigen Inhalte besprochen und du kannst Rückfragen an unseren Dozenten stellen. Anhand von Beispielaufgaben wiederholst du hier die Grundlagen für deine Klausuren! Nimm auch an unseren nächsten ingenieurkurse-Webinaren teil Crashkurs: Elektrotechnik Crashkurs: Maschinenelemente 1 Wir empfehlen aufbauend hierzu die Buchung unserer Online-Kurse: ... -
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Funktionsanalysen innerhalb der Produktentwicklung
...it einer Funktionsanalyse durch und fassen die Funktionen in einem Fast-Diagramm zusammen.... -
Grenzwerte, Nullstellen, Stetigkeit
...e Funktionen. Es wird gezeigt, wie die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden können, d,h. den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse. Außerdem werden die Grenzwerte von Funktionen berechnet. Es wird also der Wert gesucht, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ferner wird die Stetigkeit von Erfolgreiches Durchführen einer Funktionsanalyse...i der Funktionsbaum, das Fast-Diagramm und die Funktionen-Potential-Analyse.... -
Höhere Mathematik: Rationale und gebrochen-rationale Funktionen
...handeln wir ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen. Jessica zeigt euch, wie die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden können. Außerdem werden die Grenzwerte von Funktionen berechnet. Es wird also der Wert gesucht, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ferner wird die Stetigkeit von Sternschaltungen in der Elektrotechnik...en wir die Sternschaltung in Netzwerken und deren Funktionen. Anhand ausgewählter Rechenbeispiele erläutern wir die notwendigen Berechnungsgrundlagen zur Bestimmung elektrischer Größen.... -
Gratis-Webinar (Höhere Mathematik 1): Differentialrechnung
...chnung. Es werden Wendepunkte und Extremwerte von Funktionen bestimmt, gezeigt, wie der Mittelwertsatz angewandt und eine Funktion hinsichtlich Konvexität und Konkavität sowie Monotonie untersucht wird.... -
Gratis-Webinar Höhere Mathematik 1 - Nullstellen, Grenzwerte, Stetigkeit
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