Analysis und Lineare Algebra

  1. Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    ... wie folgt:Grundlagen,komplexe Zahlen,elementare Funktionen,Vektorrechnung,Differentialrechnung,Integralrechnung,Folgen und Reihen sowielineare Algebra.
  2. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... \in B$ gebildet werden können. Alle Funktionen und Abbildungen sind als Teilmengen kartesischer Produkte aufzufassen.Schreibweise: $A \times B = \{(x,y)|x \in A  \text{und} \; y \in B \}$Hierbei stellt $n_1$ die Anzahl der Elemente von $A$ und $n_2$ die Anzahl der Elemente von $B$ dar. Die Produktmenge beinhaltet dann $n_1 \cdot n_2$ geordnete Paare. Überträgt man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter ...
  3. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen an. Die Eulersche Darstellung wird im angegeben durch:$z = r e^{i\varphi}$                      Eulersche Darstellungmit  $e^{i\varphi} = cos \varphi + i \cdot sin \varphi$Die Angabe von $\varphi$ erfolgt bei der Eulerschen Darstellung in Radiant!Gegeben sei die komplexe Zahl  $z = 3 ...
  4. Rationale Funktion
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion
    ... Verlauf des Kurse werden ganz rationale Funktionen und gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Wie das ausschaut und was es hierbei zu beachten gibt, erfährst du in den kommenden Kurstexten
  5. Ganz rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen
    ... (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen  $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$   mit  $a_n \neq 0$  heißen Koeffizienten , die Zahl  $n \in \mathbb{N}$  ist der Grad des Polynoms.Ggeeben sei die Funktion:  $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$.  Dies ist eine ganzrationale Funktion ...
  6. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    ... von  $f(x)$.  Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Ganzrationale Funktionen mit  $n \ge 3$ hingegen stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x - 12$.  Zur Berechnung der Nullstelle wird ...
  7. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    image
    ... zu den Grenzwerten ganzrationaler FunktionenFür  $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$  kann man den Koeffizienten mit dem höchsten Exponenten ausklammern. In diesem Fall $a_nx^n$ ausklammern:$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}x^{n-1}}{a_n x^n} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n})$  bzw. gekürzt:$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n})$  mit   $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} ...
  8. Gebrochen rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen
    ... und Polstellen gebrochen rationaler Funktionen bestimmen kann sowie die senkrechte und waagerechte Asymptote bestimmt.
  9. Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Definitionslcke
    Nullstellen bei gebrochen rationalen FunktionenFür die Ermittlung der Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen wird der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion wird gleich Null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert Null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich Null, so liegt ...
  10. Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
    ... von Grenzwerte bei gebrochen rationalen Funktionen aufgezeigt. Um das Verhalten von Funktionen im Unendlichen zu erklären müssen die beiden Grenzwerte betrachtet werden:$lim_{x \to \pm \infty} [ \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}] $Einfach ausgedrückt: Wenn $x$ gegen plus oder minus uendlich läuft, gegen welchen Wert läuft dann die gesamte Funktion $f(x)$?Grenzwert gegen plus unendlichEs wird zunächst ...
  11. Nicht rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen
    Nicht rationale Funktionen umfassen Funktionen, welche nicht der Algebra zuzurechnen sind. Der Fachterminus für diese Funktionen ist transzendente Funktionen. Transzendente Funktionen unterscheiden sich von den algebraischen Funktionen dadurch, dass sie über die Grundrechenarten im Funktionsterm hinausgehen.Zu den transzendenten Funktionen zählen:- Wurzelfunktionen,- Exponentialfunktionen,- Trigonometrische Funktionen,- Hyperbelfunktionen.
  12. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Winkelfunktionen
    Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, dienen zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken und in der Schwingungslehre. Hierbei bedient man sich der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion, sowie deren Kehrwertfunktionen. Sinusfunktion: $\ f(x) = sin(x)$, Kosinusfunktion: $\ f(x) = cos(x)$, Tangensfunktion: $\ f(x) = tan(x)$, Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x)$Berechnung am Einheitskreis [siehe Bild]:SinusfunktionOrdinate von B:  $y=sin \alpha = |\overline{AB}|$KosinusfunktionAbszisse ...
  13. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen aufgeführt:sinxcosxtanxcotxDefinitionsbereich D $\ f$$\mathbb{R}$  $\mathbb{R}$  $\mathbb{R}, {x|x = \pi/2 + k\pi}$$\mathbb{R}, {x|x = k\pi}$Wertebereich W $\ f$$\ [-1, 1]$$\ [-1, 1]$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$Nullstellen $\ x_0$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Pole $\ x_p$--$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$Extrema $\ x_E$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$--Wendepunkte $\ x_W$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Asymptoten--$ ...
  14. Beziehungen der trigonometrischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Beziehungen der trigonometrischen Funktionen
    Die trigonometrischen Funktionen stehen in Beziehung zueinander und können daher, falls es die Rechnung erfordert, in einander überführt werden. Im Folgenden die wichtigsten Beziehungen. Komplementbeziehungen$\ sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha - \frac{\pi}{2}),       D(f) = \mathbb{R}$$\ cos \alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha + \frac{\pi}{2}),       D(f) = \mathbb{R}$$\ tan \alpha = cot(\frac{\pi}{2} - \alpha), ...
  15. Rechenoperatoren für trigonomterische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Rechenoperatoren für trigonomterische Funktionen
    ... einen sicheren Umgang mit trigonometrischen Funktionen ist es notwendig die unterschiedlichen Rechenarten zu kennen. Folgende sind besonders wichtig:Additionstheoreme,Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen,Produkte von trigonometrischen Termen,Potenzen von trigonometrischen Termen.Im Folgenden werden nur die Additionstheoreme und die Summen und Differenzen von trigonometrischen Funktionen aufgezeigt. Sie sollten sich aber unbedingt auch die Produkte und Potenzen von Trigonometrischen ...
  16. Summen und Differenzen trigonometrischer Terme
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Rechenoperatoren für trigonomterische Funktionen > Summen und Differenzen trigonometrischer Terme
    ... bzw. Differenzen aus zwei trigonometrischen Funktionen als Produkt darzustellen:$\ sin  \alpha \pm sin  \beta = 2 \; sin \frac{\alpha  \pm  \beta}{2} cos\frac{ \alpha  \mp  \beta}{2}$ $\ cos  \alpha + cos  \beta = 2 \; cos \frac{\alpha  + \beta}{2} cos\frac{\alpha  - \beta}{2}$$\ cos  \alpha - cos  \beta = -2 \; sin \frac{\alpha  + \beta}{2} sin\frac{\alpha  - \beta}{2}$$\ cos  \alpha \pm sin  \alpha = \sqrt{2} ...
  17. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. Es existieren sechs HyperbelfunktionenSinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),Kosinus Hyperbolicus (cosh),Tangens Hyperbolicus (tanh),Kotangens Hyperbolicus (coth),Sekans Hyperbolicus (sech),und Kosekans Hyperbolicus (csch).Die ersten drei Funktionen, also Sinus ...
  18. Grenzwert von Funktionen
    Elementare Funktionen > Grenzwert von Funktionen
    Grenzwert
    Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie.Definition$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$  bezeichnet den Grenzwert  $G$  der reellen Funktion  $f$  für  $x$  gegen  $x_0$.  Dabei kann  $x_0$ sowohl einer ...
  19. Stetigkeit einer Funktion
    Elementare Funktionen > Stetigkeit einer Funktion
    Stetigkeit
    ... stetig ist.Anschaulich bedeutet dies: Funktionen die innerhalb ihres Definitionsbereiches nicht unterbrochen sind, sind stetig. Funktionen hingegen die einen Sprung aufweisen, sind unstetig.Unstetigkeit von FunktionenOb eine Funktion stetig ist oder nicht kann mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmt werden. Sind diese gleich und der ermittelte Wert stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, so ist die Funktion an der betrachteten Stelle stetig.Rechtsseitiger ...
  20. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ Graphen ist durch ein negatives Vorzeichen gespiegelt und steigt somit zuerst, um dann nach Durchschreiten des Hochpunktes (0;0) zu fallen. Der $\color{pink}{\mathbf{hellviolette}}$ ...
  21. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung1
    ... Die Ableitung 1. Ordnung für Funktionen mit Exponenten sieht wie folgt aus $\ f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} $.Differenziere folgende Stammfunktion $\ f(x) = 5 \cdot x^4 + 3 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 9$Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen  $x$  multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.$ f`(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{4-1} + 3\cdot 3 ...
  22. Ableitungsregeln
    Differentialrechnung > Ableitungsregeln
    Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $     ...
  23. Ableitung der Elementaren Funktionen
    Differentialrechnung > Ableitung der Elementaren Funktionen
    ... \cdot x^a = a\cdot x^{a-1}$Trigonometrische FunktionenSinus:  $f(x) = sin x \; \rightarrow \; f´(x) = cos x$Cosinus:  $f(x) = cos x \; \rightarrow \; f´(x) = -sin x$Tangens:  $f(x) = tan x \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x$Cotangens:  $f(x) = cot x \; \rightarrow \; f´(x) = -\frac{1}{sin^2 x} = -(1 + cot^2 x)$
  24. Monotone Funktionen
    Differentialrechnung > Monotone Funktionen
    streng monoton wachsend
    ... wächst oder fällt.Monoton wachsendIn Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $. und von streng monoton wachsend, wenn gilt:Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $. streng monoton wachsendIn der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton steigend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle  $x \in I$ eine positive ...
  25. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$, sowie  $g´(x_0) \neq 0$.  Dann gilt:$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)}$Die obigen Regel besagt einfach, dass wenn sowohl Nenner als auch Zähler einer Funktion gegen Null laufen, wenn ...
  26. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    ... es unendlich viele Lösungen, bzw. Stammfunktionen für dieses Problem gibt [siehe Grafik].Unbestimmtes IntegralDie Funktion könnte also z.B. so aussehen:$x^4 + x^2 + 3$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$oder$x^4 + x^2 + 15$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$...Da in diesem Fall die Wahl der Konstanten beliebig ist, spricht man auch von einem unbestimmten Integral. Es ist nur möglich ein Integral zu lösen, wenn man bereits die Stammfunktion $\ F(x)$ der Ableitung $\ f(x)$ kennt. ...
  27. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst substituiert ...
  28. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...
  29. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Im Gegensatz zu den bisherigen rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch ...
  30. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    ... \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es gilt:$u´ = e^x \to u = e^x$$v = x \to v´ = 1$$\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ dx = [e^x \cdot x]_0^1 - \int\limits_0^1 e^x \ dx$$= [e^x \cdot x]_0^1 -[e^x]_0^1 = e - 0 - (e - 1) = 1$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Kurseinführung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Kurseinführung
    ... im ebenen Raum und mehrdimensionalen Raum, Funktionen mehrerer Veränderlicher sowie der gewöhnlichen Differentialrechnung einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen der Darstellungsarten ebener Kurven vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themen eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, ...
  3. Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Spirale im Raum
    ... Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. $\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$, wobei $\alpha $ für die Raumkurve steht.Eine Spirale im Raum hat beispielsweise die Parameterdarstellung:$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\ 0,5 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 6\pi$Grafische DarstellungGrafisch sieht das wie folgt aus:Spirale im Raum
  4. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ...
  5. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn$(x_0, y_0) \in D_f$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.In Worten: Eine Funktion ...
  6. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... mathematisch modelliert. Es ergeben sich Funktionen von mehreren reellen Variablen. Um jedoch aus diesem Modell die Funktion einer Veränderlichen zu erhalten ist es notwendig sich auf einen der Parameter zu konzentrieren, der als unabhängige Variable angesehen wird und alle übrigen Parameter als konstant anzusehen. Dieses Vorgehen nennt man auch Ceteris Paribus. Jedoch kann anhand des Verhalten einer Variable nichts über die Gesamtwirkung gesagt werden, wodurch ...
  7. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:$\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist : $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $.Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist : $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.Da bei der partiellen Ableitung nach $\ x$ die Therme ohne $\ x$ als Konstanten gelten, fallen sie beim Ableiten ...
  8. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für  $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $  lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...
  9. Extremwerte
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte
    Sollen in der Mathematik Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt werden, unterscheidet man zwischen Extremwerten mit und ohne Nebenbedingungen. Die zur Bestimmung von Extremwerten notwendige Bedingung ist, dass alle 1. partiellen Ableitungen der Veränderlichen Null sein müssen. Denn selbst wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit ...
  10. Extremwerte mit Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen
    ... kommen wir zur Bestimmung von Extremwerten von Funktionen, welche an Nebenbedingungen gebunden sind. Zur Lösung dieses mathematischen Problems können zwei verschiedene Vorgehensweisen gewählt werden. Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen ...
  11. Verfahren von Lagrange
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange
    ... auch problemlos nach dem gleichen Schema auf Funktionen mit mehr als 2 Veränderlichen anwenden. Bei z.B. Funktionen mit 3 Veränderlichen unter einer Nebenbedingung erhält man am Ende eine Funktion mit 2 Veränderlichen, welche dann nach dem Schema im Kapitel "Extrempunkte ohne Nebenbedingung" gelöst werden kann.
  12. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $1. Bestimmung der Nullstellen ...
  13. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... wird. Es müssen sich dann zwei identische Funktionen ergeben.Wenn die Exaktheitsbedingung stimmt, dann gibt es Potential $\psi$, so dass$\psi_x = M$   und   $\psi_y = N$mit$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y ...
  14. Differentialgleichung höherer Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
    ... (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung der homogenen DifferentialgleichungDie Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler ...
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Unternehmensführung

  1. Management und Unternehmensführung
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung
    Managementgruppen
    ... unterscheidet sich von anderen Managementfunktionen, da es prüft, inwieweit die anderen Führungsaufgaben erfüllt wurden.Diese Erkenntnisse haben die angloamerikanische „Managemant Process School“ zu ihrer Zeit stark beeinflusst und stellen auch heute noch einen wichtigen Meilenstein in der Unternehmensführungstheorie dar. Anders als Koontz und O’Donnell geht man in der heutigen Forschung nicht mehr vom Primat der Planung aus. Vielmehr gibt es einen „kontrollierten“ ...
  2. Management aus funktionaler Sicht
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht
    ... der Schaffung und dem Einsatz von Prozessen und Funktionen zur Optimierung des Leistungsprozesses zusammenhängen. UnternehmensbereicheDabei tangiert die Unternehmensführung alle Bereiche eines Unternehmens.Eine Führungskraft aus der Verwaltung ist im gleichem Umfang der Unternehmensführung verpflichtet wie Führungskräfte aus anderen Abteilungen.Abteilungen, in denen Unternehmensführung ausgeübt wird:PersonalabteilungFinanzabteilungAbteilung zur Koordinierung ...
  3. Führungsprozess
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht > Führungsprozess
    ... viel Zeit und Ressourcen in Anspruch. ZielfunktionenZu Beginn werden Zielfunktionen formuliert, die zukünftig erfüllt werden sollen. Hierzu zählen:BewertungsfunktionenAuswahlfunktionenSteuerungsfunktionenKoordinationsfunktionenMotivationsfunktionen undabschließende KontrollfunktionenZieldifferenzierungIst man sich sicher diese Vorgaben erfüllen zu können, beginnt man die Ziele voneinander zu differenzieren und einer der beiden bereits bekannten Gruppen zuzuordnen.Formalziele: ...
  4. Funktionen der Planung
    Planung > Funktionen der Planung
    ... nochmal zusammen, können wir folgende Funktionen der Planung ausmachen:SelektionsfunktionFlexibilisierungsfunktionKoordinationsfunktion
  5. Planungssysteme
    Planung > Planungssysteme
    Anforderungen an Planungssystem
    ... leiten sich diese aus den zuvor behandelten Funktionen der Planung ab):FlexibilitätAktualitätVollständigkeitTransparenzVerständlichkeitWirtschaftlichkeitDarüber hinaus gibt es noch weitere Anforderungen an das Gesamtsystem. Wir wollen uns jetzt in den folgenden Kapiteln mit folgenden Aspekten des Planungssystems beschäftigen:PlanungsgegenstandPlanungsträgerPlanungskoordination
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Strömungslehre

  1. Horizontalkraft
    Hydrostatik > Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände > Horizontalkraft
    Vertikalkraft
    ... ermittelt wird, indem die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus angewendet werden.
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